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1、SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量 ）2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）教学目标一、 知识与能力：1 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2 掌握平面向量数量积的运算律；二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.教学重点向量的数量积的定义及性质教学难点对向量数量积的定义及性质的理解和应用
2、一、 复习回顾，新课引入1 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使 = .brar bra2平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有1e2 r一对实数 1， 2 使 = 1 + 2ar3平面向量的坐标表示分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有xyij a一对实数 、 ，使得 ， 把 叫做向量 的（直角）坐标，记作yjxia),(xa),(yx4平面向量的坐标运算若 ， ，则 ， ， .),(1yxa),(2bba),(2121yxb),
3、(2121),(yxa若 ， ，则,A,2B2,A5 ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0arb06线段的定比分点及 P1， P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1， P2 的任一点，存在实数 ，使 = ， 叫做点 P 分 所成的比，有三种情况：1221SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量 ）0(内分) (外分) 0 ( -1) ( 外分)0 (-10)问题：如图一个力 F 作用于一个物体上，使该物体位移 S，（1） 如何计算这个力所做的功？W=|S|F|cos .（2） 如何从数学的角度来理解这个公式呢？的意义是什么？ |F|c
4、os的意义是什么？ |S|cos 的意义是什么？ 1 2 3二、师生互动，新课讲解：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则 （ ）叫 与 的夹角.OAB说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， 与 反向；（3）当 时， 与 垂直，记 ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 01802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量| | |cosabab叫做 和 的数量积（或内积） 。记作： abab即： =| | |cos（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1
5、）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0.因为其中 cos有可能为 0.（4）已知实数 a、b、c( b0)，则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c 如右图：ab = | a|b|cos = |b|OA|，bc = |b|c|cos = |b|OA| ab
6、= bc 但 a c(5)在实数中，有(ab)c = a(b c)，但是(ab)c a(bc)CSCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量 ）显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.3 “投影”的概念：作图定义：|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.4向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|co
7、s的乘积 .5两个向量的数量积的性质：设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则：eae1） cos|ae2） 0b3）当 与 同向时， =| | |；当 与 反向时， = -| | |.baab特别地， =| |2 或| |=aa4）cos |b5）| | | | |a例 1（课本 P104 例 1） 已知|a|=5，| b|=4，a 与 b 的夹角 =120，求 ab.解：ab=| a|b|cos=54cos120=-10.变式训练 1：向量|a|=6，a 与 b 的夹角为 120，求 a 在 b 方向上的投影. （-3 ）3 数量积的运算律（1）ab= ba；
8、（2）(a)b=( ab)=a( b)；（3）(a+ b)c=ac+bc例 2（课本 P105 例 2） 对于任意向量 a，b 证明（1）( a+b)2=a2+2 ab+b2；（2）(a+b) (a-b)=a2-b2.SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量 ）证明：（1）(a+b) 2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2；（2）(a+b)(a- b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.变式训练 2：判断下列说法是否正确：（1） 若 a=0，则对于任一向量 b，有 ab=0. ( )（2） 若 a0，则对任一非零向量 b，有
9、 ab0. ( )（3） 若 a0，ab=0，则 b=0. ( )（4） 若 ab=0，则 a，b 至少有一个为零. ( )（5） 若 a0，ab=ac，则 b=c. ( )（6） 若 ab=ac，则 b=c，当且仅当 a0 时成立. ( )（7） 对任意向量 a、b、c，有(ab) ca(bc). ( )（8） 对任意向量 a，有 a2=|a|2. ( )例 3（课本 P105 例 3） 已知|a|=6，| b|=4，a 与 b 的夹角为 60，求(a+2b)(a-3 b).解：(a+2b) ( a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|
10、2=-72.变式训练 3：已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分别求 .解：当 时，若 与 同向，则它们的夹角 ， cos036118；若 与 反向，则它们的夹角 180 ， cos18036（-1 ）18；当 时，它们的夹角 90 ， ；当 与 的夹角是 60时，有 cos6036 921例 4（课本 P105 例 4）已知|a|=3，| b|=4，且 a 与 b 不共线， k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直？解：a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+ kb) (a-kb)=0,SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量
11、 ）即 a2-k2b2=0， a2=32=9，b 2=42=16, 9-16k2=9， k= .34变式训练 4：已知|a|=2，|b|=4，ka+b 与 ka-b 垂直，求实数 k 的值. 解：(ka +b) (ka-b)=0k2a2-b2=0k2|a|2-|b|2=04k2-16=0k=2.课堂练习（课本 P106 练习 NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思：1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2 平面向量数量积的运算律.四、课时必记：1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量|a|b|cos叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a
12、|b|cos，2、|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影 .3、设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则：eae1） cos|e2） 0ba3）当 与 同向时， =| | |；当 与 反向时， = -| | |.abab特别地， =| |2 或| |= 4）cos |ba5）| | | | |五、分层作业：A 组：1、 （课本 P108 习题 2.4 A 组：NO：2）2、 （课本 P108 习题 2.4 A 组：NO：6）SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教 A 版必修 4 第二章平面向量 ）3、 （课本 P108 习题 2.4 A 组：NO：
13、7）4、.已知|a|=1，|b|= ，且(a- b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是（ ）2A.60 B.30 C.135 D.5、已知 ab、c 与 a、b 的夹角均为 60，且|a|=1，|b|=2，| c|=3，则(a+2b- c) _.B 组：1、已知|a|=1，|b|= ，(1) 若 ab，求 ab；(2)若 a、b 的夹角为0，求| a+b|；(3)若 a-b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角.22、设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.C 组：1、(tb1225172)已知：( 垂直于(7 )、( 垂直于(7 ，求 与 的夹角 。)3baba5)4)2ba（答： ）2、(tb1225577)设 和 是两个单位向量，其夹角为 600，试求向量 =2 + 和 =-3 +2 的夹角。1e2 1e21e2（答：120 0）
