《用列初等变换求矩阵的特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用列初等变换求矩阵的特征向量（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1求 矩 阵 特 征 向 量 的 三 种 方 法文 爱 民 （湘南学院数学系2000级1班 中国 郴州 423000）摘 要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“ 特征根与特征向量的同步求解”的方法，并 导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度.关键词：行初等变换 列初等变换 矩阵 特征向量 Three methods of requesting matrix eigenvectorAimin-Wen（Class 1,Grade 2000,Department of Mathemat
2、ics XiangNan University ,Chenzhou 423000 ,China）Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementaryCounterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the meth
3、od ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.Keywords:row elementary counterchange;tier elementary counterchange;matrix
4、;eigenvector.1、定义定义 1 所谓数域 P 上矩 阵的初等变换是指下列三种变换：1例 以 P 中一个非零的数乘矩 阵的某一行（列）.2例 把矩阵的某一行（列）的 c 倍加到另一行（列）23例 互换矩阵中两行（列）的位置.定义 2 设 A 是数域 P 上线性变换，如果对于数域 P 中一数 ，存在一个非零向量 ，使得.那么 称为 A 的一个特征值，而 称为属于特征 值 的一个特征向量.定义 3 设 A 是数域 P 上一 n 阶矩阵， 是一个文字.矩阵 AE的行列式 称为 A 的特nnnnaaELL21221121|征多项式，这是数域 P 上的一个 n 次多项式.定义 4 设向量组 不
5、线性相关.即没有不全为零的)(,.21s数 使 就称为线性无关；或sk,.21 02sk者说，向量 称为线性无关，如果由s,.21s可以推出.0.21skk2、用行初等变换求矩阵的特征向量此方法求 n 阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要0)(XAE时变换列化系数为阶梯形 然后给自由变量一些赋值进0,rnrCE而求解.具体求解步骤是：1）、在线性空间 V 中取一 组基，写出 A 在这组 基下的矩阵3A；2）、求出 A 的特征多项式 在数域 P 中全部的根，AE它们也就是线性变换 A 的全部特征值；3）、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每
6、一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的 n 个线性无关的特征向量在基 下的坐标，这样，我n,.21们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.例 1 设数域 P 上三维空间 V 内线性变换 A 关于基 的矩321,阵为 A= 求 A 的特征值与特征向量.4365解 因为特征多项式为f( )=| E-A|= = ( -4)4635312)所以特征值是 =-2(两重) 和 =41求相应于 A 的特征值 =-2 的特征向量1（ E-A）=1630301即 - - =0，它的基础解系是123，0因此，属于 =-2 的两个线性无关的特征向量是1= + ， =- +1212而
7、属于 =-2 的全部向量就是 + ， ， 取遍数1 1K212K域 P 中不全 为零的全部数 对.4求相应于 A 的特征值 =4 的特征向量2（ E-A）=263936100612即 + - =012312 -6 =0它的基础解系是： 21因此属于 =4 的一个线性无关的特征向量是= + +2 ，3123而属于 =4 的全部特征向量就是 K ，K 是数域 P 中任意3不等于零的数.3、用列初等变换求矩阵的特征向量设 是 n 阶矩阵 A 的特征根，对（ E-A）施行列初等 变换化为 的同时，对单位阵 E 施行同样的列初等变换)(rrOB就得到矩阵 ，则矩阵 D 的每一个列向量都是 A 的)(rn
8、nDC属于特征根 的特征向量，且它们恰构成特征子空间 的一个 V基.（这里 r=秩（ E-A）事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得（ E-A） =)(rnrnDC)(rnrnOB（ E-A） =0.)(由于 D 是单位阵 E 经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的 n - r 个列向量 线性无关，且每个列向量都是（ E-A）x=0 的解向量.从而结论得证.5例 2 求 R 上矩阵 A= 的特征根与特征向量0213解： (x) = = (x-4)( +4)Af xx312x矩阵 A 只有一个实根 =4= 3)f(I10.1231023.10103.01从而 为 A 的属于特征根 4
9、的一个特征向量，1而 ，K 0,K R,是 A 的属于 4 的全部特征向量要求出矩阵 A 的每一个特征根 的特征向量，只需对每一个 按照上述方法一一求解便是.推论：若 n 阶矩阵 A 仅有两个特征根.且秩（ E-A）= 的重数ij（i j,i,j=1,2）,对（ E-A）经列初等变换化为i（ ），则矩阵 B 的每一个列向量都是 A 的属于特征根jrnB)(jrnO的特征向量，且它 们 恰好构成特征子空间j的一个基.jV事实上，秩（ E-A）= 的重数 （i j,i,j=1,2），从而 A 可对角ij 化，故存在可逆阵 P6A= P= QP1P2211O1（ E-A）（ E-A）ji=（ E-
10、QP）（ E- QP）j1Pi1P= （ E-Q）P （ E-Q）P1j1i= （ E-Q）（ E-Q）P=0ji而 B 的列向量恰是（ E-A）的列空间的一个基，所以 B 的 个列向i jr量是齐次线性方程组（ E-A）x=0 的一个基础解系j即 B 的 列向量是从属于 的线性无关的特征向量.jrj例 3 求矩阵 A= 的特征根与特征向量3205解 (x) = =Af 20xx )1(5(2xA 的特征根是 5 和 1=IA)-5( 10.2001.001.02A 的属于特征根 5 的特征向量是+ ， ， 不全为 0， R1K021K21K27A 的属于特征值 1 的特征向量是0， R3K2
11、33K对于只有两个特征根的矩阵来说，要求它的属于不同特征根的特征向量，通常取重数较大的那个特征根，这样作初等变换时比起另一个来更方便些.还有一些矩阵，比如 等，虽然也保有两个特征根，107325但并不满足“ 秩（ E-A）= 的重数（i j,i,j=1,2）“这个条件，因而ij只对 作列初等变换即可.EA)-(当然，并不是所有矩阵运用此法求特征向量都相对简便，仅供参考.4、矩阵的特征根与特征向量的同步求解对 f( )= 同时进行列与行的初等变换，将其化为对角形AE矩阵 B( ).即只要求出有可逆矩阵 n 阶 矩 阵 p( )、Q( )，使p( )f( )Q( )=ding( ( ), ( ),
12、 ( )=B( )1f2fnf显然每个 ( ) 0.（即不是零多项式）其中 Q( )就是在对 f( )进if 行列的初等变换时，同时对 进行相同的列初等变换的结果.（或记录）nI当然 p( )是 对 f( )进 行行初等变换时，同 时对 进行行初等变换的 nI结果.（只是后来不用它，不必记录）设 是 f( )的任意一个根（A 的特征根），因为 A 的特征多项式= ( ) ( ) ( ).设 在 ( ), ( ), ( )中有 t 个为 0，n-t 个不1f2nf1f2fnf8为 0（t 1）设 ( )= ( )= ( )=01if2iftif其余的 ( ) 0（ 是 1，2，n 中某 t 个值
13、）显然 f( )itL21 的秩为 n t.即有 p( )f( )( ( ), ( ), ( )= () 1iq2itiqnt0其中 ( ), ( ), ( )是 Q( )中第 列的列向量.1i2iti tiiL21由于 p( )与 Q( )皆是可逆矩阵,由（）可得 f( )( ( ), ( ), ( )=1iq2itiqnt0而 ( ), ( ), ( )线性无关,即知它们就是方程组1i2iti的一个基础解系.ntxf01)故 ( ), ( ), ( )就是 A 的属于特征根 的特征向量.1iq2itiq对 f( )同时施行行与列的初等变换,容易将其化为对角形矩阵 B( ),只需记录下 Q(
14、 )就成了.这里免去了 对 B( )的( 是00A 的一个特征根时)非 0 列向量再施初等变换的过程.下面举例说明.例 4 求矩阵 A 的特征根与特征向量,其中A= 102解 =3)f(I 101.1029的 相 同与 变 换列 初 等 I 1001.100212行 上 去到 第 加以 行 乘将 第 3,- 1001.1)(2012行 上 去加 到 第行 乘 以第 32101.022上 去 列加 到 第列 乘 以第 1120.022知 B( )=2Q( )= 10A 的特征根是 1(2 重根)与-1.=1 时与 B( )中对应的 Q( )中两个列向量是 与111 (1,02).(0,2)=-1 时与 B( )中对应的 Q( )中 1 个列向量是22),(A 的属于特征根 1 的特征向量是 与 ；A 的属于特(,0(,2)征根-1 的特征向量是 .)0,(这里顺便指出,对 B( )也不一定要求它是对角形 矩阵.只要其中的 n 个元素 ( ), ( ), ( )各在不同行不同列中即可 .因为1f2fnf这时的特征多项式即 ( ) ( ) ( ).1参考资料1张禾瑞、郝炳新 编高等代数M
