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1、求不定方程整数解的方法浅析摘要：第 1 章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家
2、甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作
3、步骤：想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围；根据该变量的范围求出该变量的整数解；分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值. 常见的构造不等式的技巧：注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设 ”的条件. Lzyx2）若题目要求是正整数解，则有“ ”L,1,zyx若要求是相异的正整数，则有“ ”32利用基本不等式求变元范围，常见的如“ ”xy4分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范围.可利用二次方程有整数解的条件，即“ ”，或更强点0的 “ 为完全平方数”.常规应用：一般在某些对称式中能用到此方法进
4、行放缩估值； 在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利 用此方法对其他变量进行估值；对于方程 “ （其中 u,v,w 是常数或者是含其他02wvxu变 量的式子） ”可利用关于 x 的方程有整数根的条件，即“”，0或更强点的“ 为完全平方数”对其他变量进行估值；具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规 不等式进行估值，比如”转化为关于 x+y 与 xy 的表达式， 用 等“xy42例 1：求不定方程 的正整数解 .32yx解： 方法 1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设 ，1yx则 23xyx32)4( 0 2xy. 3,1 x1）当 x=1 时，1)4(2xy 1
5、y经检验： 不满足方程；,x2）当 x=2 时，2)4(12xy. 1 ，经检验： 满足方程，,yx满足方程； 23）当 x=3 时，3)4(12xy. 1 ，经检验： 不满足方程，,yx不满足方程，23不满足方程；,yx综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为 . 2, ,12,，yx方法 2：已知方程化为 222yxyx,0,yxQ令 ， 则t)3 32222 txytxyxyxt （ 即.3 t即 tyx 且 为 整 数 ）（ 2t13 2ttxy利用不等式： 则：xy42132tt.2 ,4 的 正 整 数为又 tt. 21）当 t=2 时，yx32 此方程无正整数解；2
6、） 当 t=3 时，3yx2 1x2x， y1y3） 当 t=4 时， 4yx2x .2y综上所述：不定方程的正整数解为 . 2, ,1,，yx例 2：求不定方程 的整数解.09262yx解：方法 1：已知方程可化为: ,1)32yxyx（则 此方程可看成关于 x 的一元二次方程有整数解的情况 )9(4)12yy（=4（1-5y)则 必是一个完全平方数，这里不妨设：）且（令 （ Nmk2)5-12m由求根公式： 1531x-2故方程要有整数根，当且仅当 5, 1 5m或经检验： 符合题意64m或当 时， ， ，4m21x3y当 时， ， ，6767综上所述：原方程的整数解为 ),4(3,2),
7、yx（方法 2：已知方程化为： xxy1)3(2 分离 y: 2)31xy（事实上当 y=0 时，x= ,不合题意，则有：，即 1y1)32x（ (*)2（i）若 则有：,0x962-1x无解)(xii）若 由 x 为整数则有 , 则(*)式化为：,01x961-22 )4(x . ,5当 时，y=-3;2x当 时，y=-7;4当 时， 不合题意舍去;5x25y当 时， 不合题意舍去;691综上所述：原方程的整数解为 )7,4(3,2),yx（2、同余分析法其一般操作步骤：方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为 同余式； 由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征） ，从而达 到
8、解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强的观察力！常规的取模原则：能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模；由费马小定理有“ ”)3(mod3x频率较高者有模 3，模 4，模 8.常规应用：事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛 而方便的应用；一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；具体的：它能解决“Ax+By=C型整数解问题.例 1：求不定方程 7x+19y=213 的正整数解 .解：方程两边同时 得：7mod)7(od32-y两边同时乘以 3： 6)( y 代入原方程得：,27 ky13)(19x
9、 k25,7ky（其中 k 为整数）x19令 x0,y0, 得 ,027，195k 7-k=0 ,1.方程的正整数解为 .9,6 2,5,yx例 2：证明：1594421xL无整数解.证明： )16mod5-160159（*）设 是方程的整数解，x14321,L1）若 ，则 ，nxi)16(mod06ni2）若 ，则 ，故 ，i 82i 182kxi从而 ，)(4)184 kki（与（ *）式矛盾)16od21 （xL该方程无整数解.例 3：求不定方程 的全部正整数解.75-12yx解：i）若 ，则方程两边模 4 得：，矛盾；)4mod3（ii）若 ，则方程两边模 3，得：75-12yx，)1
10、（）（y 为奇数若 x1,方程两边模 8 得：)mod15-（y即 ，又 （ )8od152（ ，这与 y 为奇数矛盾2 ，从而1x1综上所述:原方程有唯一的整数解 . 1,yx3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的 方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法.常规的次方法分为两类：因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. 分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子
11、位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部 分未知量.常规应用：多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整 数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分扎实；具体的：它能解决“ ”型不定方 0DCyBxA)A（程.例 1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了 22 人，结果剩下 1 人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳 32 人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有 m 俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为 n根据人数相等可列方程：；)32,( )1(2nm整理为： ； 0n 分析： 属于类型“ ”0DCyBxA)A（思路一（部分因式分解）：yx)（0ABDCyx2)(这就化成了例 1：求不定方程 的整数解72xy解：分离变量：23yyxx,y 为整数Q 3)y（ 12，此方程的解为 （-1,3） ， （5,1） ， （1,5） ， （3，-1）
