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1、【本讲教育信息】一、教学内容：平面向量的数量积及应用二、学习目标1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。2、平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。三、知识要点（一）主要知识：（1）平面向量的数量积的定义1）向量 的夹角：已知两个非零向量 ，过 O 点作 ， 则AOB=（0 180）叫做向量 的夹角。当且仅当两个非零向量 同方向时，=0，当且仅当 反方向时，=180，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。2） 垂直；如果 的夹角为 90则称 垂直，记作 。3） 的
2、数量积：两个非零向量 ，它们的夹角为 ，则 叫做的数量积（或内积），记作 ，即 =规定 =0 非零向量 当且仅当 时，=90，这时 =0。4） 在 方向上的投影： （注意 是射影）所以， 的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积。（2）平面向量数量积的性质设 是两个非零向量， 是单位向量，于是有：当 同向时， ；当 反向时， ，特别地，。（3）平面向量数量积的运算律交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立： ；（2）消去律不成立不能得到 （3） =0 不能得到 =0 或 =0但是乘法公式成立： ；等等。（4）平面向量数量积的坐标表示1）若 =（ ）,
3、 =（ ）则 =2）若 =（x,y）,则| | = . =x2+y2,3）若 A（ ）,B（ ）,则4）若 =（ ）, =（ ）则 （ ）5）若 =（ ）, =（ ）则（二）主要方法：1、注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2、垂直的充要条件的应用；3、当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；4、距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题上来解决 5、特别提示：数量积不满足结合律。【典型例题】例 1、已知两单位向量 与 的夹角为 120，若 ，试求 与 的夹角。解：由题意， ，且 与 的夹角为 120，所以，同理可得 而 ，设 为 与 的夹角，则 例 2、已知 ， ， ，按下列条件
4、求实数 的值。（1） ；（2）解：（1） ；（2） ；（3）。点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例 3、已知向量 且求（1） 及 ；（2）若 的最小值是 ，求 的值。解：（1）（2）当 时，当 时，当 时，综上所述： 。例 4、三角形 ABC 中，A（5，1）、B（1，7）、C（1，2），求：（1）BC 边上的中线 AM 的长；（2）CAB 的平分线 AD 的长；（3）cosABC 的值解：（1）点 M 的坐标为 =D 点分 的比为 2x D=（3）ABC 是 与 的夹角，而 =（6，8）， =（2，5） 例 5、已知向量 ， （1）当 ，且 时，求 的值； （2）当 ，且 时，求
5、的值解：（1）当 时， ， 由 ， 得 ， 上式两边平方得 ，因此， （2）当 时， ，由 得 即 ， 或 命题意图与思路点拨：本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题。本讲涉及的主要数学思想方法1、解决关于向量的问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2、要体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。创设问题情景，引导发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。搞好解题后的反思，从而提高综合运用知识分析和解决问
6、题的能力。3、通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法向量法和坐标法。【模拟试题】（答题时间：60 分钟）一、选择题1. 设 A、B、C、D 四点坐标依次是（1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形 ABCD 为（ ）A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形2. 已知ABC 中， = ， = ， 0，S ABC = ,| |=3,| |=5,则 与的夹角是（ ）A. 30 B. 150 C. 150 D. 30或 1503. 设 a，b 是非零向量，则使 ab= 成立的一个必要非充分条件是（）A. B. C. D. *4. 已知 P 是 内一点，
7、且满足 0，记 、 、的面积依次为 、 、 ，则 ： ： 等于（ ）A. 1：2：3 B. 1：4：9 C. ： ：1 D. 3：1：25. 已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么（）A. B. C. D. *6. 将 的图象按向量 平移，则平移后所得图象的解析式为（）A. B. C. D. 二、填空题*7. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，则使向量 与 的夹角为钝角的实数 的取值范围是 _8. 三角形 ABC 中,A（5,1）,B （1,7）,C（1,2）.则角 B 的大小为_三、解答题*9. 已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| | ，且 ，求 的
8、坐标；（2）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角 .10、非零向量 满足 ，求 与 所成角的大小。*11、设 =（1+cos，sin ）， =（1cos，sin）， =（1，0）（0，），（，2）， 与 的夹角为 1， 与 的夹角为 2，且 1 2= ，求 sin 的值。【试题答案】1. 解析： =（1，2）， =（1，2）， = ， ，又线段 AB 与线段 DC 无公共点，ABDC 且| AB|=|DC|，ABCD 是平行四边形，又| |= ， =（5，3），| |= ，| | , ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 =（4，1），14+21=6 0, 不垂直于 ，ABCD 也不是矩形
9、，故选 D答案：D2. 解析： 35sin 得 sin = ,则 =30或 =150又 0, =150答案：C3. 提示：由 ab= 可得 ；但 ，ab= ，故使 ab= 成立的一个必要非充分条件是 故选4. 解析：取 AC、BC 中点 D、E，连接 PA、PB、PC、PD、PE，由0，即由此可知， ： ： =3：1：2，选 D5. A6. A7. 提示：由已知条件可得 ， ，且 ab= cos60由于 与的夹角是钝角，则 且 ，即 解得 8. 解： 、 ，9. 解：（1）设 ，由 和 可得： 或 ，或（2） 即 ， 所以 . 10、解法一：设 。以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB，则， ， ，平行四边形 OADB 为矩形。 与成 90角。解法二：设 ，则 ， ， ，即 ，即 与 成 900 角。11. 解：（0，）， （0， ）， =（1，0），=（1+cos，sin ）=2cos （cos ，sin ）。 1=（，2），0, 0, 0, , =（1cos，sin）=2sin （sin ,cos ）=2sin （cos ,sin ）, 2= , 1 2= =sin =sin（ ）=
