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1、例 3 一个 n 边形切去一个角后所得多边形的内角和为 1800，则这个多边形的边数是_.分析：多边形切去一个角,所切的方式可能有以下几种情况,如图 1,切线过点 A1、A3 把 A2 切掉，此时所得的多边形为 n-1 边形；如图 2，切线过点 A1 与 A2A3 边上一点，此时所得的多边形仍是 n 边形；如图 3，切线过 A1A2 与 A2A3 上的两点，此时所得多边形为 n+1 边形.然后根据多边形内角和计算公式，列方程解决问题. 图 1 图 2 图 3 解：如图 1，根据多边形的内角和的计算公式，可得(n-1)-2180=1800 ,解得 n=13.如图 2,根据多边形的内角和计算公式,
2、可得(n-2)180=1800,解得 n=12.如图,根据多边形内角和计算公式,可得(n+1)-2180=1800 ,解得 n=11.所以这个多边形的边数可能是 13 或 12 或 11.说明:分类思想是一种重要的数学思想,在解决数学问题中对于可能存在多种情况的问题,应注意分类讨论.不要出现漏解现象.特殊图形内角和的三个求法张亚开（河北省邯郸市峰峰春晖中学初三（3）班 056201）用三角形及 n 边形的内角和定理及三角形外角的性质，可以计算特殊多边形的内角和。常用的方法有以下三种：1. 集中将位置分散的角集中在一个规则图形内。例 1 如图 1，求ABCDE。图 1解 因为1 是ACM 的一个
3、外角所以1=A C同理2 是BDN 的一个外角所以2=BD又12E=180所以ACBDE=180 例 2 如图 2，求ABCDEF。图 2解 因为1AB=180 2CD=180 3EF=180三式相加，得123ABCDEF=540又因为1=4，2= 5，3= 6，456=180所以123=180则ABCDEF=540（123）=3602. 分割将一个 n 边形分割成若干个三角形。例 3 求证：凸四边形内角和等于 360。解 如图 3，连结 BD，则A13=180 C24=180因为ABCD=A 1 2C 34所以ABCD=360图 33. 补形求凹多边形内角和时，可将其补成凸多边形。例 4 如
4、图 4，求ABCDE。图 4解 连结 BC，则DE1=2FBCFCB=180因为1=2所以DE=FBCFCB所以ABCDE=A ABCACB=180练习1. 如图 5，求ABCD1。图 52. 如图 6，求ABCDE。图 63. 如图 7，求ABCDEF。图 7自相交多边形大多数简单多边形的边不相交，如果有的边相交了，那么这个多边形叫做自相交多边形。一个简单的自相交多边形如图 12.28 所示。凸多边形与凹多边形非自相交多边形能进一步细分为凸多边形和凹多边形。给凸多边形下一个精确定义是一件非常困难的事，因为存在很多令人棘手的退化形式。对大多数多边形，下列常用的定义是等价的。不过对于一些退化多边
5、形来说，根据一种定义它是凸的，而根据另一种定义它又可能是凹的。（1）直观上，凸多边形是没有任何凹陷处的，而凹多边形至少有一个顶点处于凹陷处-凹点。（2）凸多边形，任意两顶点的连线都包含在多边形中。但在凹多边形中，总能找到一对顶点，它们的连线有一部分在多边形外。（3）沿凸多边形周边移动时，在每个顶点的转向都是相同的。对凹多边形，一些是向右转，一些是向左转，在凹点的转向是相反的（注意这仅是对非自相交多边形来说的）。前面曾提到过，退化多边形会使这些相对清晰的定义变得模糊不清。例如一些多边形有两个连续的顶点重合，或这一条边以相反的方向重复了两次。能认为这些多边形是凸的吗？实践中，经常用到下列凸性的定义
6、:（1）如果只能对凸多边形起作用的代码对这个多边形也能起作用，那么它就是凸的（也就是说如果一个定义没有被打破就不用修正它）。（2）如果凸性测试算法判断它是凸的，那么它就是凸的（这是由算法定义解释的）。现在，让我们忽略一些病态情况，给出一些大家意见都一致的凸、凹多边形。如图12.29 所示，右上角的凹多边形有 1 个凹点，而下面的凹多边形有 5 个凹点。任意凹多边形都能分解为凸多边形片，它的基本思路是定位凹点并通过添加对角线来有系统地移除它们。怎样才能知道一个多边形是凸的还是凹的？一种方法是检查各顶点的内角和，考虑n 个顶点的凸多边形，它的内角和为(n-2)180 。 ,有两种方法可以证明这个结
7、论。（1）设 i 为顶点 i 的内角，很明显， i 180。 (假设多边形是凸的)。在每个顶点上，补角为（180- i） 。 ，对于一个封闭的凸多边形，全部顶点的补角之和为 360。 ，有：（2）任意 n 个顶点的凸多边形都能分解为 n-2 个三角形，由经典几何知识可知，三角形内角和为 180。 。所有三角形的内角和为 (n-2)180。 ，可以看到，这个和总是等于多边形的内角和。不幸的是，凹多边形和凸多边形一样，内角和也是(n-2)180 。 。怎样才能进一步判断一个多边形是不是凸多边形呢？对一个凸多边形，内角不会大于外角。（外角不是补角，一对内角外角的和等于 360。 ）所以，将每个顶点处
8、较小的角（内角或外角）相加，凸多边形得到(n-2)180 。 ，凹多边形则小于它。怎样判断哪个角较小呢？幸运的是，有这样一个工具 - 点乘，这种方法返回的角总是以较短的弧度来度量的。下面的代码说明了怎样用角度和来判断多边形是否为凸多边形。Listing 12.4: 3D polygon convexity test using angle sum/ Function to determine if a polygon is convex. The polygon is/ assumed to be planar./ Input:/ n Number of vertices/ vl pointe
9、r to array of of verticesbool isConvex(int n, const Vector3 vl) / Initialize sum to 0 radiansfloat angleSum = 0.0f;/ Go around the polygon and sum the angle at each vertexfor (int i = 0 ; i n ; +i) / Get edge vectors. We have to be careful on/ the first and last vertices. Also, note that/ this could
10、 be optimized considerablyVector3 e1;if (i = 0) e1 = vln1 vli;else e1 = vli1 vli;Vector3 e2;if (i = n1) e2 = vl0 vli;else e2 = vli+1 vli;/ Normalize and compute dot producte1.normalize();e2.normalize();float dot = e1 * e2;/ Compute smaller angle using “safe” function that protects/ against range err
11、ors which could be caused by numerical imprecisionfloat theta = safeAcos(dot);/ Sum it upangleSum += theta;/ Figure out what the sum of the angles should be, assuming/ we are convex. Remember that pi/2 rad = 180 degreesfloat convexAngleSum = (float)(n 2) * kPiOverTwo;/ Now, check if the sum of the a
12、ngles is less than it should be; / then were concave. We give a slight tolerance for numerical imprecisionif (angleSum convexAngleSum (float)n * 0.0001f) / Were concavereturn false;/ Were convex, within tolerancereturn true;另一种检测凸性的方法是检测多边形上是否有凹点，如果一个都没有找到，就是凸多边形。它的基本想法是每个顶点的转向应该一致，任何转向不一致的点都是凹点。 怎样
13、检测一个点的转向呢？技巧是利用边向量的叉乘，左手坐标系中，如果向量的转向是顺指针，它们的叉乘就会指向你。什么是指向你呢？我们从多边形的正面看，正面由法向量指明。如果没有提供法向量，就必须做一些计算来得到。一旦有了法向量，检查多边形的每个顶点。用相邻的两个边向量计算该顶点的法向量，接着用多边形的法向量和顶点的法向量点乘，检测它们的方向是否相反。如果是（点乘为负），那么这个顶点就是一个凹点。三角分解和扇形分解任意多边形都能分解为三角形。因此，所有对三角形的操作都能应用到多边形上。复杂、自相交、甚至简单的凹多边形的三角分解都不是一件简单的工作。幸运的是，简单多边形的三角分解是一件容易的事。一种显而易
14、见的三角分解技术是选取一个点（称作第一个点），沿着顶点按扇形分解多边形。给定一个有 n 个顶点的多边形，沿多边形列顶点 v1.vn，能够很容易地构造形如v 1,vi-1, vi的 n-2 个三角形，见图 12.30。扇形三角分割会分割出一些长的、较细的三角形，这在某些情况下会引起麻烦。如同计算表面的法向量一样，数值的不精确性在度量极小的角时会造成一些问题。一种更加聪明 的分解方法是：连接两顶点的对角线将一个多边形分解为两部分。这时，对角线端点处的两个内角都能分解为两个新的内角。因此，总共产生了 4 个新内角。为了分解多边形，选择能使这 4 个新内角中最小的角最大化的对角线，用这条对角线将多边形分为两个。对分割后的每一部分都递归应用这个过程直到剩下的都是三角形。这个方法产生较少的细三角形，但在实践中，它过于复杂。根据几何学和应用目的，扇形分解已经足够了（并且简单得多）。
