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1、二重积分的典例综述I目录目录 摘要 前言 IV1 二重积分的相关概念11.1 二重积分的概念11.2 曲线积分、曲面积分的概念12 二重积分的计算12.1 直角坐标系中的计算方法12.2 极坐标系中的计算法42.3 曲线积分、曲面积分的计算 52.3.1 第一类曲线积分52.3.2 第二类曲线积分72.3.3 两类曲线积分的联系72.3.4 第一型曲面积分82.3.5 第二型曲面积分9参考文献 14致谢 15二重积分的典例综述II二重积分的典例综述摘要：二重积分计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，计算二重积分时选择积分次序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.为简化二重积分换元公
2、式的推导，利用定积分的换元法及二重积分的有关知识，提出了一种简便的推导方法.本文还介绍了如何利用对称性来计算二重积分，并提出了通过适当改造被积函数和积分区域以利用对称性来简化计算的方法.对积分区域的边界曲线由参数方程表示的二重积分，我们也将给出两种不经消参数而直接计算的方法.关键字：二重积分; 被积函数；积分限；积分区域； 二次积分; 累次积分；积分次序;换元法；对称性.Double Integral CalculatingAbstract: The basic way of calculating double integral is to change it into the quadra
3、dic integral,its a important problem of choosing the integral order exchanged integral order and conversion coordinate systerm,when we calculating double integral.To simplify the detrusion of the double integral exchange formula,a simple method is derived after using the recevant knowledge of the me
4、thed of substitution in definite integral and double integral.The paper introduces the method of calculating double integral with symmetry,and then puts forward a calculating method by rebuilding integrand and domain of integration reasonably. At last,for the double integral which the boundary curve
5、 of its domain of integration is denoted by the panameter 二重积分的典例综述IIIequation, we will supply a directed method which do not eliminate the parameter.Keyword: Double integral; Integralted function; Integral limit; Integral region; Quadradic integral; Repeated integral; Integral order; Definite integ
6、ral; Variable substistute; Symmetry; Creens fomula.二重积分的典例综述IV前言二重积分是高等数学教学中多元函数积分学中的重要部分，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分。采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法。是高等数学的重点,也是难点,计算较为繁琐,有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分,进而要利用两次定积分计算此二重积分,但是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难,这时,我们就要采用特殊的算法计算,讨论几类特殊的被积函数二重积分的选择积分
7、顺序的问题,研究了如何用轮换法求二重积分。通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。通过学习与研究，激发学生热爱专业，增强建设祖国的事业心和责任感，为学习数学专业的所有后续课程打下基础。二重积分的典例综述11二重积分的相关概念1.1二重积分的概念设二元函数 z=f(x,y)定义在有界闭区域 D 上，将区域 D 任意分成 n 个子域i(i=1,2,3,，n ） ，并以 i 表示第 i 个子域的面积。在 i 上任取一点(i,i)，作和n/i=1
8、 (i,i)i。如果当各个子域的直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在区域 D 上的二重积分， 记为f(x,y)d，即f(x,y)d=lim f(i,i)i这时，称 f(x,y)在 D 上可积，其中 f(x,y)称被积函数，f(x,y)d 称为被积表达式，d 称为面积元素， D 称为积分域,称为二重积分号。1.2 曲线积分、曲面积分的概念第一类曲线积分本质上就是在曲线上对标量求和。第二类曲线积分本质上就是在曲线上对矢量的投影求和。第一类曲面积分本质上就是在曲面上对标量求和。第二类曲面积分本质上就是在曲面上对矢量的投影求和。2. 二重积分的计算2.1. 直角
9、坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把 x 看成常量，对 y 进行积分，然后在对 x 进行积分，或者是先把 y 看成常量，对 x 进行积分，然后在对 y 进行积分。为此我们有积分公式，如下：或 在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？例 1： 将 21),(ydxfd化为先对 y后对 x的累次积分。解: 先将累次积分化为二重积分,再化为另一次序的累次积分 )(21 ,(yxfyxfy二重积分的典例综述2其中()是由抛物线 2yx及直线 2yx所围成的闭区域,它可分为两个 x-型区域之并.所以原积分14012(,)(,)xxdfdfdy例 2：计算 Dy
10、23,其中 D 是由 x 轴, y 轴和抛物线 21x所围成的在第一象限的闭区域。解: D 是 x-型区域. dx2= 3156)1(302102 dy注: D 也为 -型区域,但若化为先对 x 后对 y 的累次积分,则计算较繁。例 3：计算x(2,其中 D 是由中心在( a,0),半径为 a的圆所围上半区域。解: 在极坐标系下, D 可表示为: cos0,2a故 Ddxy)(2Dd20cos3420csa4d2201csa4204 3)4cos81o( ad 例 4 ：计算二重积分 Dxy2(,其中 D为矩形区域 12:.解 由 yx,在 上的变化范围可得 21)4()24( dyxdDxy
11、xy122232)8(x例 5 ：已知 xOy平面第一象限内的区域 D是由直线 2,0yx和抛物线 2xy所二重积分的典例综述3围成,(1)求区域 D的面积 ；(2)求以曲面 xyfz),(为顶,以 D为底的曲顶柱体的体积 V。解 (1)列方程组可求得各曲线的交点(0,0)、 （0，2）和（2，2） ，画出区域 的草图（图 10.13） ，并且不等式表示： 2,0:yxD于是根据面积公式可得 .3802)6()(/202020xxdyyxD（2）根据二重积分的几何意义可得累次积分上下限的确定方法。我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域()内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于 y 轴(或
12、 x 轴) 的直线，且此直线交()的边界不超过两点，那末称()为沿 y 轴(x轴)方向的正规区域。如果()即是沿 y 轴方向也是沿 x 轴方向的正规区域，那末()就称为正规区域。下图所示的即为正规区域：关于累次积分上下限的取法如下所述：(1).如果()为沿 y 轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对 y 再对 x 的累次积分。二重积分的典例综述4其中对 y 的积分下限是()的下部边界曲线所对应的函数 y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数 y2(x)。对 x 的积分下限与上限分别是()的最左与最右点的横坐标 a 与b。(2).如果()为沿 x 轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对
13、 x 再对 y 的累次积分。其中对 x 的积分下限是()的左部边界曲线所对应的函数 x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数 x2(y)。对 y 的积分下限与上限分别是()的最低与最高点的横坐标 c 与d。(3).如果()为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。(4).如果()既不是沿 y 轴方向的正规区域，也不是沿 x 轴方向的正规区域，那末总可以把它化分成几块沿 y 轴方向的正规区域或沿 x 轴方向的正规区域，然后根据积分的性质即可求解积分。例 6：求二重积分 ，其中()是由 所围成的区域。解答：因为是正规区域，所以我们可先对 y 后对 x 积分，也可先对 x 后对 y 积分。这里
14、我们采用前者先对 y 后对 x 积分：2.2 极坐标系中的计算法如果二重积分的被积函数和积分区域()的边界方程均由极坐标的形式给出，那末我们如何计算呢？下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式。如果极点 O 在()的外部，区域() 用不等式表示为 R1()R2()，则积分公式如下：如果极点 O 在()的内部，区域() 的边界方程为 =R()，02 ，则积分公式如下：如果极点 O 在()的边界上，边界方程为 =R()， 12，则积分公式如下： 二重积分的典例综述5有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。注：直角坐标与极坐标的转换公式为：例 7：求 ，其中()是圆环 a2x2+y2b2解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标
