概率统计电子教案

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1、概率统计,四川警察学院,内容与学时,第一章 随机事件及其概率,第二章 随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,第四章 随机变量的数字特征,第五章 数理统计的基本知识,第六章 参数估计,(19学时)数理统计,(29学时)概 率 论,第七章 假设检验,概率论被称为“赌博起家”的理论 最早产生与17世纪，是一门比较古老的数学学科，有趣的是，尽管任何一门数学分支的产生和发展不外乎是生产、和科学或数学自身发展推动的，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究，“分赌金问题”如何分比较合理？赌徒求教于帕斯卡，帕斯卡与费尔马共同解决这个问题，从而建立了概率论的第一个基本概念数学期望。,概率论与数理统计的

2、发展简史,1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。,在他们之后，对于研究这种随机（或称偶然）现象规律的概率论做出了贡献的是伯努利家族的几位成员，雅各布伯努利给出了赌徒输光问题的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理（伯努利定理）这是研究偶然事件的古典概率论中极其重要的结果，它表明在大量观察中，事件的频率与概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是伯努利，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文。 概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型作为概率来研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作分析概率论中给出概率明确的定义，并且还建立了观察误差理论和最小二乘法估计法，从这

3、时开始对概率的研究，实现了从古典概率论向近代概率论的转变。,概率论在二十世纪再度迅速发展起来，则是由于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程论，1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922）提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫（俄国）、费勒（美国）；1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机过程理论在科学技术有着重要的应用，开始建立了马尔可夫过程与随机微分方程之间的联系。,1960年，卡尔门（1930英国）建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理

4、化体系是柯尔莫哥洛夫1933年在集合论与测度论的基础上建立起来的，从而使概率论有了严格的理论基础。,我国概率论发展简介,我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。,第一章 随机事件与概率,1 随 机 事 件,一、随机现象,1.必然现象与随机现象,必然现象：在一定条件下，必然出现某种结果的 现象。,随机现象：

5、在一定条件下，可能出现某种结果， 也可能不出现那种结果的现象。,随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律的，然而在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。,对随机现象的统计规律进行研究，就需要对随机现象进行重复观察，我们对随机现象的观察就称为随机试验。满足以下三个特点： (1) 在相同条件下可重复进行; (2) 试验前就能确定试验的所有可能结果, 且结果不止一个； (3) 试验前不能确定到底会出现哪一种结果。,二、随机试验,三、样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样 本空间，记为S，样本空间的元素，即E每个结 果为

6、基本事件或样本点。,S=0,1,2,；,S=正面，反面；,S=(x,y)|T0yxT1；,S= x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例：一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,记录一批产品的寿命x,四 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件，简称为事件。当且仅当A所包含的一个样本点出现时，称事件A发生。,S0,1,2,；,记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,基本事件的全体组成的样本空间；随机事件由若干个基本事件构成,它是样本空间的子集样本空间S包含所有的样本点，则每次试验S

7、总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。必然事件与不可能事件都是确定性事件。,注：,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,S0,1,2,；,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,例：观察89路公交车浙大站候车人数，,S,B,A,如右图

8、：,A,B,A+B,如图所示:,A,B,如图所示：,AB,也可说成A与B都发生。,A-B,B,A-B,A,B,AB=,A,也称为对偶律,例：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,2 随机事件的概率,一、频率及其性质,例如：,2. 概率：频率的稳定值，记为p。(probability) 事件A发生的概率记为p(A)=p,频 率 稳 定 值 概率,事件发生的频繁程度,事件发生的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,返回主目录,二、概率的公理化定义,概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于

9、E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求 满足下列条件：,P&S,三、概率的性质,P&S,P&S,重 要 推 广,P&S,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,一 等可能概型（古典概型）,比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,等可能概型,&3.古典概型与几何概型,例 3 将一枚硬币抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )

10、。,解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即 S中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。, A1为“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH,等可能概型, 事件 A2为“至少有一次出现正面”，,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,等可能概型,例 4 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取

11、一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球 中再取一球。分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,等可能概型,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:,等可能概型,无放回抽取:,等可能概型,例 5 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共

12、有,而每个盒子中至多放一只球,共有,等可能概型,例 6 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,等可能概型,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,等可能概型,例 8 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待都

13、是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？,解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003，即千万分之三。,等可能概型,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,等可能概型,二 几何概型,简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何

14、概型。 古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限 .首先看下面的例子。,例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,几何概型,解： 以 , y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 （12点为计算时刻0时）,即 点 M 落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。,0 1 2 3 4 5,y,x,54321,.M(X,Y),几何概型,x,二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,