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1、 三角函数 三角函数及其有关概念 的概念推广 度制 任意角的正弦函数、余弦函数和 正切函数 同角三角函数的基本关系 诱导公式 正弦函数与余弦函数的图像和性质 已知三角函数值求指定范围内的角 内容简介： 本章主要内容是三角函数的定义、图像、性质及应用 是描述周期函数的数学模型，在数学和其他领域中有着重要的作用 用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生初步了解代数与几何的联系 理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都会应用到三角函数的知识，因此，这些知识既是进一步学习数学的必要基础，又是解决生产技术实际问题的有力工具 . 学习目标： 了解角的概念的推广， 理解弧度制的概念和意义 ，理解任意角的正弦
2、函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算器求三角函数的值 ，理解同角三角函数的基本关系 ，了解诱导公式的推导及简单应用 ，理解正弦函数的图像和性质；了解余弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法 . 角的概念推广 概 念 O A B 如下图所示，射线的端点是 O ，它从位置 转到另一位置 成的图形叫做 角 . 旋转位置开始的射线 做角的 始边 ，终止位置的射线 做角的 终边 ，端点 O 叫做角的 顶点 . 规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角 ； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角 ； 当射线没有做任何旋转，称它形成一个 零角 ，
3、零角的始边与终边重合 . 坐标平面被直角坐标系分为四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象、第四象限 此时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，或者说这个角在第几象限 . O x y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 概 念 终边在坐标轴上的角叫做界线角 . 锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是锐角吗？ 一般地，与角 终边相同的角有无限多个，并且它们（包括角 在内）都可以写成 )(3 6 060 的形式 , 所以它们所组成的集合为 ,3 6 0| Z . 终边在 轴上的角的集合如何表示？ 想一想 返回 弧度制 概 念 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角 ，记作
4、 1弧度或 1 以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制 . 当角 用弧度表示时，其绝对值等于圆弧长 l 与半径 r 的比，即 )r a d(. 这里，角 的正负由其终边的旋转方向决定 . 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 公式 换算公式 角度与弧度的换算公式为 1 ( r a d ) 0 7 4 5 ( r a d ) ,1801801 r a d ( ) 5 7 5 7 1 8 归纳 度 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度 0 64 3 2 23 2 角与实数之间建立了一一对应的关系 . 返回 任意角的三角函数 设 是平面直
5、角坐标系中的一个任意角，点),( 终边上的任意一点，点 P 到坐标原点 ( 0 , 0 )O 的距离为022 么 （ 1 ）比值 的正弦，记作 s 即s i n； （ 2 ）比值做 的余弦，记作 即c o s； （ 3 ）比值做 的正切，记作 t 即ta n. 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念 正弦、余弦及正切都是以为变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数及正切函数，它们都是 三角函数 . 下面分别给出正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域 . 三角函数 定义域 s R R t ,2| Z 概 念 在直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆叫做 单位圆 . 任意角的正弦函数、余弦
6、函数和正切函数在各 象限的正负号 s i n + + _ _ x y + + + + _ _ _ _ x x y y c o s t a n 第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限正切正， 第四象限余弦正。 殊角的三角函数值 三角函数 0 6432s i n 0 1222321 c o s 1 3222120 t a n 0 331 3 不存在 界线角的正弦值、余弦值和正切值 三角函数 0 2 23 2 s i n 0 1 0 - 1 0 c o s 1 0 - 1 0 1 t a n 0 不存在 0 不存在 0 三角函数式的变换 学习 提示 同角三角函数的基本关系 22si n c o s
7、 1 ,si n t a n , (c o s 2k k . Z)返回 利用基本关系式 1c o ss i n 22 求三角函数的值时，需要进行开平方运算，所以必须要明确角 所在的象限 . 一 . 同角三角函数的基本关系式 )4(;12 )7(; )5(;2 )6(;2 8(; )1(;1 )2(;1 )3(;1 解： ,12 又 ;259)54(122 54,是第二象限的角 0 53259 例 已知 ,54且 是第二象限的角 ,求 ；和 诱导公式 2 ) 2 ) c n( 2 ) ta ) ) c n( ) ta n si n( ) si nc ) c a n( ) t a n si n(
8、) si nc ) c a n( ) t a n 以上公式统称为 诱导公式 . 返回 660(;317();6113(;780(;240( 例：求值：)601 8 0s )1( 原式解： 60s )601 8 04c o s ()2( 原式解： 60c o 62t a n ()3( 原式解： 6ta n 33)36c )4( 原式解： 3c 21)601 8 04t a n ()5( 原式解： 60ta n 3角和、差，二倍角的三角函数 )(,s i ns i nc o sc o s)c o s ()(,s i ns i nc o sc o s)c o s (c ?c o sc o s 090
9、030c o s ( 如：212360c 030c 若 60c o o s)6030c o s (例 1：不查表计算 15、 75的余弦。 15co s )3045c o s ( 30s i i o o 426 )(,s i ns i nc o sc o s)c o s ()(,s i ns i nc o sc o s)c o s ( 求 12s 5s 5s in精确值。 解： 3045s 0s i o o i n 21222322 426 3045s 0s i o o i n 21222322 426 2、两角和与差的正弦： )(,s i nc o sc o ss i n)s i n ()(
10、,s i nc o sc o ss i n)s i n ()123124s )122123s 或.t a nt a a nt a n)t a n (12t a a a a n)1(求值：)1242t a n ( 解：原式 30ta n 3315ta (15式3605453、两角和与差的正切： 三角函数的图像和性质 正弦函数与余弦函数的图像和性质 正弦函数的图像和性质 s i n , 0 , 2 y x xx 0 4 2 43 45 23 47 2 xy s i n0 0 1 0 0 - 0 - 1 - 0 0 将函数xy s i n在2,0上的图像向左或向右平移（每次移动 2 个单位长度），这样就得到正弦函数xy s i n在 正弦函数的图像叫做 正弦曲线 . 五点作图法 五个关键点 )0,2(),1,23 (),0,(),1,2(),0,0( 2o 1 3 2 32 65 67 34 23 35 611 26y = x , x 0,2 注意 （ 1）适用范围：精确度要求不高的函数作图；
