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1、“条件概率”难点突破教学的实践与体会摘要：“条件概率”是高中数学中重要的一项内容，非常考验学生的数学思维能力，但是其教学中存在诸多难点，教学效果不尽如人意。本文中通过文献综述说明“条件概率”的教学难点，通过实例对教学中的难点进行突破，说明一些教学实践和体会，希望对数学“条件概率”的教学发展有所裨益。 关键词：条件概率；高中数学；突破教学难点；实践与体会 “条件概率”属于高考理科考试范围，也是高中数学老师教授的重点内容之一，但是由于其概念抽象，难于理解，调研中发现学生的掌握情况不佳，怎样了解其中的教学难点，针对性的进行时间突破，强化教学效果，指引学生掌握条件概率计算公式和方法就成为所有数学教师研
2、究的重点。 1 “条件概率” 国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在数学?选修 2-3第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节1，其概念为事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。 2 “条件概率”教学难点 2.1 各要素的不同特征 在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为 p（A 丨 B） ，即已知 B 事件发生的情
3、况下事件 A 的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件 A、事件 B 和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件 A 具有随机性，事件 B 具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。 首先需要掌握的方法?橹苯蛹扑惴 ?这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过 3 的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到 p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过 3 的概率，则掷出了偶数点为已知 B 事件，B 变为新的样本空间，其
4、样本点具有等可能性，可计算 p（A 丨B）=1/32。 其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件 B 于事件 A 发生后发生，不可能影响事件 A 发生，因此 AB 间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有 0.7 的概率存活至 20 岁，有 0.56 的概率存活至 25 岁，那么这种动物现已 20 岁，求活至 25 岁的概率，此题目中活到 20 岁为已知 A 事件
5、，也是活到 25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式 p（A 丨 B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8. 2.2 界定概念要素和细节 在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。 在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工 120 个零件，甲加工 70 个，其中 65 个正品，乙加工 60 个，其中50 个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过
6、程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是 p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。 2.3 变式练习和纠错练习 在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学
7、生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。 2.4 挖掘深层内容 人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点 M 在实数轴上的区间0，5内随机地跳动，设事件 A=2，事件 B=2，3，试研究事件 A、B 的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立，若
8、根据 B 作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不独立，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率 p（A 丨 B）的定义中限定 p（B）0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时3，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。 3 总结 前文中提到， “条件概率”在数学中占有重要的位置，不仅仅是应付考试要求，更多的是对学生的思维进行启发，使学生体会到数学的乐趣，并且利用“条件概率”解决实际问题，但是“条件概率”的教学是存在一些难点的，相关教师必须自身知识水平过硬，做好教学规划，由浅到深的对概念、题目等进行讲解，确保学生掌握基础知识的情况下进行提高，且要注意通过不同类型的题目加深学生对于概念的理解，而不是纸上谈兵，也根据题目解答情况了解学生对于概念的掌握情况，及时调整教案，做到实践与理论相结合，在教学中还可以采用一些趣味的教学方法吸引学生的兴趣，将数学和游戏、生活相结合，加深学生的理解，将“条件概率”中的教学难点一一转化突破，最终培养出具有创造性思维的学生。 参考文献： 1金天寿.试谈条件概率的教学J.数学通报，2012 2朱贤良.把握“缩减样本空间”突破条件概率难点J.河北理科教学研究，2015
