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1、 康托对角线法中的逻辑推理过程详析及其所涉及的数学基础、集合论问题西北工业大学前逻辑与人工智能研究所（西安市，710072） 沈卫国内容摘要：在前期一系列论文的基础上，提出康托对角线法以及区间套法在证明实数集合不可数过程中的明显逻辑问题，其本质是反证法在这个具体的使用案例中出现了以往难以察觉的问题。实数集合的不可数性尽管广为人们所接受，但其造成的问题很多。它使所谓的数学基础变得极其庞杂繁复并充满矛盾。甚至比指望其提供坚实基础的其它数学分支还要复杂混乱，这只能说明该理论本身有问题。本文的实际意义有两个方面，一是数学基础、集合论方面，提出并澄清了一系列的问题，有助于它们的健康发展；二是逻辑学方面，
2、提示人们反证法使用中的误区，提醒人们对任何逻辑、数学结论、证明，都应该采取更为严格、慎重的态度。关键词：康托对角线法；区间套法；实数；可数；不可数；反证法；准一进制实数表示法一、康托对角线法中的逻辑推理问题详析根据笔者以往论文中的详尽讨论，经典的康托对角线法实际隐含逻辑循环或言循环论证，也就是无意中把欲证明的结论当做前提了。用逻辑公式的形式表示，即为：康托对角线法实际能做到的反证法是：（AB）（）其中为命题“实数可数”，为命题“全部实数可与位数一一对应”。（注意，这里是简化说法，详细的完备说法见前文中，比如“顺序”、“激活”、“可变状态”等等限定词这里都省略了）。这个命题当然等价于“由所有位的
3、全部不同排列组合的状态数可与由之产生的位数顺序地一一对应”。直观上，由位数的由来、意义、作用，就不可能。当然还有证明。在康托的经典（非完备）的对角线法的表述中，上式中的仅仅为“全部实数可以在表中排成一列”。这在“实数可数”的前提下是显然的，由可数的定义直接得到的，所以无须证明。因此，在康托的非完备的对角线法中，（）为真。所以自然可以先假设“为真”，也就是“如果实数可数”（为真）。由此，由康托的经典的（非完备）对角线法的反证法，看似可以“求得”，即的反命题“实数不可数”。但前文早已详述，康托对角线法实际能做到的，是依赖于“位数”、多进制下的每位、“顺序一一对应”、“每位可变状态”这些前提的。于是
4、问题就不是康托认为的那么简单了。此时的（），加进这些隐含的、对角线法所必需的假设、前提后，就成为“如果实数可数，全部实数就可与每一位一一对应”，而这个（）为真与否，也就是能否作为对角线法的前提，是需要证明的。而要证明其为真，恰恰需要由本来有待证明的（）来证明。即（）（）。这当然是逻辑循环，也就是循环论证。当然，如果真，也就是“全部实数可以与每一位一一对应”为真，则自然也真，也就是“实数可数”为真，同时（）自然也为真，但这推不出（）。即我们没有（B A) (AB)这样的逻辑关系。进而，由前文我们已经知道，正是由对角线法（前提当然不同于康托的），我们可以得到：（）（），其中的定义与上面相同，而为“
5、全部实数可以排成一列”。由对角线法，我们得到否定的结果，从而推出结论，也就是“全部实数不可能与每一位在那些隐含的前提下一一对应上”。这是已经证明的事实了，于是，（）不可能为真，也就是实际上我们有（），当然（）就更不成立，于是，我们不可能再做出假设“真”也就是“实数可数”，因为（）根本不成立。于是，康托想通过对角线法的反证法而得到“假”也就是“实数不可数”的目的是达不到的。总之，实数可以不与自然数一一对应（这当然并不是不可数），和实数不可以（绝不，总不）和自然数一一对应（这才是“不可数”），是两回事，我们不应混淆。由以上的分析应该非常清楚康托对角线法的所谓反证法的逻辑脉络了。我们还可以这样看这个
6、问题：康托先是假设了命题 A（实数集可数），想用、或以为用其对角线法证明了“非 A”（实数集不可数）。但其实际能做到的仅仅是假设了“A 与 B”（其中 B 为“所列可数的实数集与其自己的元素的位数一一对应”），由反证法，康托实际得到的并不是其想得到的、以为已经得到的“非 A”，而是“非（A 与 B）”，按简单的数理逻辑规则，有：非（A 与 B）=（非 A）或（非 B），它原先想、或认为已经证明的“非 A”，其实并没有被证明。因为在这个式子中，两个命题是“或”的关系，而由于对角线法的“操作本质”，命题 B 与“非 B”都是“刚性”的，必须的，于是，“非 A”（也就是命题“实数集合不可数”）并没有
7、被证明。在上述所谓“反证法”中，A 与“非 A”，都没有被证明。也就是其成立与否并不影响整个式子的真值性。当然也可以这样等价地看这个问题：如果没有明确地提出康托对角线法的“隐含”假设 B，则由于对角线法的规则，决定了原先康托所列出的、假设可数的全部实数集，其实不过只能是实数集的一个真子集，而不可能是整个实数集。这个真子集与其元素的位数一一对应（通俗说就是“数量一样多”），换句话说，就是其想证明的东西，已经包括在其前提中了。因为无论有限还是无穷情况，一个与多进制下位数一样多的集合，显然比这个多进制下这个数量的位数所可以表示的数要少的多。于是，也可以把这种证明错误看成是逻辑上的“循环论证”。等于是
8、自己证自己。以下视角，也许使问题更加清晰。我们可以设计一个“反对角线法”，就是先找任意一个实数 A，将其置于“对角线 ”的位置，然后逐位求反，而每位求反后，都找一个相应位与求反后的 A 的那一位的数值一样的实数，依次类推。这样得到的一个实数列表，从一开始就排除了实数 A。它的本质，是先把 A 单独挑出来，再去建立不包括 A 的实数子集。它与康托对角线法没有实质不同，不过操作的前后顺序正相反而已。也就是，如果康托对角线法成立，这个“反对角线法”也应该成立。但我们看到，这里从一开始建立的就是实数的真子集，也就是不完备的实数集。我们不可能还有先假设实数可数，然后再单独挑出一个实数，去建立不包括这个实
9、数的实数子集，就说实数不可数或“证明”了实数不可数。这里完全没有这样的逻辑。实数可数这个假设根本插不进去，也就根本无由证明它的否命题。康托对角线法的结构与上面的“反对角线法”没有什么不同，不过次序相反。“反对角线法”是直接主动建立非完备实数集（子集），而“康托对角线法”是徒具反证法的形式，就是先假设实数可数，而且可以排成那么一列（一张表），再通过难以察觉的隐蔽方式偷偷地改变了这张表，以找出一个不在“改动后”的表中的实数（对角线上求反得到的那个实数），然后宣称“证明”了“改动前”的表是不完备的。而事实上，你只要去求反（改动原表）而得到原表外的实数，表立即就“变的”不完备了。这与主动直接建立一个不
10、完备的实数表根本没有不同。不过一个显然，一个隐蔽而已。事实上，康托对角线法等价于使用了选择公理。而选择公理的本质，就说按某种规则，选择某集合的一些元素组成该集合的一个子集合。前文已经讨论了，康托对角线法的本质，就是在前 n 位的 2n 个不同的组合形式可以表示的 2n 个不同的实数中，仅选择 n 个组合表示的实数，这就是那张二维表中的所列出的实数，这当然是整个实数集的一个真子集，而且与位数是顺序一一对应的。从这个角度，也可以看出康托对角线法的本质与局限。总之，实数如果真的不可数，由反对角线法得到不在表中的实数 A 也属必然；但不能就此说实数不可数的结论是由这个反对角线法或进而对角线法得到的、“
11、证明”的。这在逻辑上是两个概念。二、戴德金分割中的矛盾分析从另一个角度，我们也可以看到如果实数不可数，将使理论极其尴尬。我们知道，戴德金分割唯一地决定了一个实数，同时任何两个实数间都有无穷个有理数，无论这两个实数靠的有多么近。没有两个戴德金分割是完全相同的。也就是，必然会有出现在这个戴德金分割右边的有理数，却出现在另一个戴德金分割的左边。由于有理数的个数可数，就算会出现极端情况，也就是每两个戴德金分割左右边不同的有理数只涉及一个有理数，戴德金分割也只能有可数个。更何况每两个不同的戴德金分割左右不同的有理数，实际是无穷多个，也就是，戴德金分割的总数绝不会比只涉及一个有理数的情况多，如果不少的话。
12、也就是，要么有理数也不可数，要么就是实数可数。二者必居其一。但我们早就知道，有理数是可数的，于是唯一的可能，就是实数可数。如果我们依然坚持对角线法无问题、实数不可数的结论，就会产生矛盾。这实际可看作是一个实数可数的间接证明。总之，根据戴德金分划理论，每一个戴德金分划决定一个唯一的无理数；同样，反之亦然，每一个无理数决定一个唯一的戴德金分划。但按康托对角线法，无理数是不可数的。但有理数可数。于是，可数的有理数，可以实现不可数个只由有理数构成的戴德金分划，就是戴德金分划理论成立的必要条件。此问题似乎这么多年，就没有人明确提出过。但显然是个问题。其实，两个不同的戴德金分划，充其量也只能有一个有理数不
13、同。即在戴德金分划 A 中有一个有理数在分划的右集合（元素都大）中，在戴德金分划 B 中，该有理数在分划的左集合（元素都小）中。而且这两个分划只有这个区别，其它元素（有理数）在分划的左右位置不变。由于最极端情况下，也就是不同分划，只涉及一个有理数，那么，有理数的总数是可数的，于是，戴德金分划的总数，充其量也是可数的，不可能不可数。除非一个戴德金分划可以对应起码无穷个无理数，但这显然不符合戴德金分划理论。此问题应该称之为“戴德金分划悖论”，其实本质地说明了现有实数不可数理论是有问题的。三、康托超限数理论中的隐含矛盾综上可以看出，所谓传统康托理论（集合论）中的“层次无穷”的相当繁杂而无任何实际用途
14、的“超穷数”系统，是传统理论的“定理”性的结论，它完全脱离数学其它分科的实践。某种意义，是康托的无奈之举。正是由于对角线法，康托不得不得到这个结论。这个结论显然并不符合他实无穷的初衷。因为由康托定理，没有最大集合。只能是一个向上“开口”的无穷大，本质显然是回到了潜无穷。而康托一再倡导的实无穷，不得不退居次席，成了在局部才可以实现的了。所以对康托而言，他想必很清楚，他的理论在总的方面是失败的。特别值得一提的是，笔者最近发现，康托的理论，实际是隐含矛盾的。因此这就不仅仅是一个繁琐、无用的问题了。这个矛盾是：康托从实无穷的自然数集合（阿列夫 0）出发，用不断、反复求子集合的集合的方法，依次得到基数序
15、列阿列夫 0、阿列夫 1、阿列夫2，。等等。由与康托对角线法密切相关的康托定理，没有最大基数，因此这个序列没有最大元素。如果这个序列被看作潜无穷过程，那么，由于其与自然数集合是同构的，也就是一一对应的，于是，为了理论的一致性，这里的自然数集合也应该是潜无穷的。而如此一来，就不会再有基于实无穷的“所有子集合的集合”，也就是不可数集合存在；而如果该阿列夫序列可以被看作一个实无穷集合，于是其必如自然数集合一样，有一个所有子集合的集合（幂集合，不可数），而这个集合按定义，应该还在原先的那个阿列夫序列之中。也就是原序列的元素之一，而不是在原序列之外。也矛盾。此矛盾笔者称之为“潜无穷、实无穷悖论”。它充分
16、说明康托理论是隐含矛盾的，并不像以往人们认为的没有矛盾。因此，我的努力，实质上是试图恢复康托的初衷。但颇具辩证意味的是，这是通过指出其对角线法的逻辑问题来实现的。显然，一些人认为的康托现有理论如果被修改，就会导致现有数学大厦的倒塌，会彻底破坏全部数学的基础的看法是没有任何根据的。四、康托定理与康托对角线法的同构性分析康托定理在集合论中的地位毋庸讳言。其与对角线法的关系，早被论及。但笔者一直似未见具体分析。笔者早年的著作中，对此曾有分析。笔者甚至怀疑，有人也许认为对角线法“过于”直观、简单（这倒成为缺点了？），不够“数学”或所谓的“专业”，因此在自己的相关著作、讲义中绝口不提对角线法，而以更复杂、抽象的康托定理为出发点去讨论问题，讲授课程。笔者百思不得其解。只能说，把一些简单的概念搞的复杂一些，玄虚一些，是一些学者不自觉的本能罢了。此类做派，绝对无补于问题的讨论。笔者这里就是
