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1、第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function)第一讲授课题目：4.1 复数项级数4.2复变函数项级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性.学时安排：2 学时教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性教学重点：复数项级数教学难点：幂级数和函数的解析性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置： 思考题：1、2、习题三：1-
2、50P板书设计：一、幂级数二、幂级数收敛半径 的求法R三、幂级数和函数的解析性参考资料：1、 复变函数 ，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解 ，高等教育出版.3、 复变函数论 ， （钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005 年 5月.4、 复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008 年 4月.课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程：4.1 复数项级数(Series of complex terms)一、复数序列的极限（Limit of the plural array）设 为
3、一复数序列，其中nzL,21按照,.,.21 nnibazibaiba 是有界或无界序列，来定义 为有界或无界序列.|nz 设 是一个复常数.如果任给 ，可以找到一个正数 ，0 0N使得当 时，有N,|0zn那么我们说 收敛或有极限 ，或者说 是收敛序列，并nz nz且收敛于 ，记作0z.0limzn如果序列 不收敛，则称 发散，或者说它是发散序列.nz定理（Theorem）4.1设 ，则 的ibaz0 nnibzL,210limzn充分必要条件是 lm,la证明：由下列不等式 | 0bazba nnnnn 及可知， 0limz,li,liba因此，有下面的注解：注 1：复数序列也可以解释为复
4、平面上的点列，于是点列收敛于 ，nz0z注 2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商.二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series)设 为一复数序列，表达式nzL,21.nz称为复数项级数.记作 ，其部分和序列为：1nznzS.2如果序列 收敛，那么就称级数 收敛；如果 ，nS1nzSnlim那么说 的和是 ，或者说 收敛于 ，记作1nz S，1nz如果序列 发散，那么就称级数 发散.nS1n例 1 当 时，判断级数|z.2nz是否收敛？解：部分和 zzz
5、zS nnnn 11.12当 时，有 ，从而有|0limn1li01lizznn所以 ，这就是说，当 时，级数Snli 1|.12nzz收敛，其和为 ，即当 时|zzzn1.2定理（Theorem）4.2 设 ，则级数 收niba1nz敛的充分必要条件是 与 都收敛.1n1n定理（Theorem）4.3 级数 收敛的必要条件是z,0limnz证明：因为级数 收敛的充分必要条件是 与1nz1nx都收敛， ，再由实级数 与 收敛的必要条件是1ny1nx1ny0linx0limny定理（Theorem）4.4 若级数 收敛，则级数1nz也收敛.1nz定义 4.1若级数 收敛, 则称 绝对收敛.|1n
6、z1nz非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛.例 2 判别下列级数的收敛性（1） （2） （3）1nni1ni12ni解：（1）发散 （2）条件收敛 （3）绝对收敛注 3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数 收敛必要与充1nz分条件是：任给 ，可以找到一个正数 ，使得当 时，0N对任意正整数 ，有P|.|21pnnz本节重点掌握： （1）复数项级数及其敛散性判别法（2） 收敛的充分必要条件是 与 都收敛.1nz1na1nb（3）级数 收敛的必要条件是n ,0limz4.2 复变函数项级数(Series of function of
7、complex variable)一、复变函数项级数(Complex Function Series)设 在复平面区域 内有定义, 称其为复L,21nzf D变函数序列, 记为 .称表达式zfn（1）1)(nfLzff321为 区域 内的复变函数项级数.其前 项和DnzfzfzSnL21称为（1）的部分和.若对点 , ，则称 在点zzSnlim1)(nzf收敛于 ,称 在区域 内收敛于 .也称DzS1)(nfDS为级数 的和函数S1)(nzf例 3 在区域 内，函数项级数|.2nzz收敛于 ，即z1zzn1.2 1|定义: 若 0,N 0, 当 n N 时, 对一切 z E, 有 |)(|1z
8、ffnk则称 在 E 上一致收敛于 .1)(nf zf一致收敛的 Cauchy 收敛准则(Uniform convergence of Cauchy convergence criterion)在 E 上一致收敛当且仅当 0,N 0, 当 n 1)(nzfN 时, 对一切 p N , 一切 z E, 有 | | .zfzffnnnL21优级数准则 (Excellent series standards)设 为一收敛的正项级数 , 且 | | n, n = 1nzfn1,2, , z E. 则 在 E 上一致收敛.1)(nzf级数 的和函数 有如下性质：1)(nff连续性(Continuity)
9、设 在复平面点集 E 上连续, 并且 在 L,zfn2 1)(nzfE 上一致收敛于 , 则 在 E 上连续.zfzf可积性(Integrability)设 在简单曲线 C 上连续, 并且级数 在 C L,n,zf211)(nzf上一致收敛于 , 则 f cncdzfzf)()(1内闭一致收敛(Uniform convergence in closed)设函数 在复平面上区域 D 内解析, 如果 L,zfn2在 D内的在一有界闭区域上一致收敛, 则称 1)(nzf在 D 中内闭一致收敛.1)(nf魏尔斯特拉定理（Theorem, Stella of Er, Wei） 设函数 在区域 D 内解析
10、, 并且 在 L,n,zf211)(nzfD 内内闭一致收敛于 . 则 zf（1） 在 D 内解析, 并且在 D 内 zf（2） ( , p= 1,2, )1)()(nppzff 二、幂级数(Power Series)形如（1.)(.)()()( 02020100 nnnn zzzz ）的复变函数项级数称为幂级数,其中 均为复数.L,210n显然， （1）在点 收敛.0z首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abel）定理：定理（Theorem）4.5 如果幂级数 在00)(nnz收敛，则幂级数（1）在圆域 内绝对收)(0z |10z敛.证明：设 为圆域 内任一点，z|010zz因为幂级数 在 收
11、敛，所以有00)(nn)(，0lim1nnz因此存在着有限常数 ，使得 .M,)1(|)(|M则有 nnnnn zzzz 0101010|)(|)(| 由于级数 收敛，所以此幂级数在满足001kZM的任何点 z不仅收敛，而且绝对收敛.|zz推论(Inference)如果幂级数 在 发散，00)(nnz)(01z那么对满足 的任何 它都发散.|010zz 证明：用反证法，设 为满足 内任一点，z|010zz若幂级数（1）在点 收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知001)(nnz收敛.与题设矛盾.因此满足 的任何点 幂级数|010zz都发散.证毕00)(nnz关于（1）的收敛性有下面三种情况：第一种
12、 对于任意 幂级数 都发散.0z00)(nnz第二种 对于任意 幂级数 都收敛.00)(n第三种 若存在一个复数 ，使得 收敛，01z001)(nnz则由阿贝尔（Abel）定理，在 内，|10绝对收敛.00)(nnz另外又存在一个复数 ，使得 发散，则由阿贝2z002)(nnz尔（Abel）定理，对满足 的任何 ，|01发散.00)(nnz在第三种情况下，可证明，存在一个有限正数 ,使得R在圆周 内绝对收敛，在圆周00)(nnzRz|0的外部发散. 称为幂级数 (1) 的收敛半径; R|为收敛圆周. z|0注 4：第一种，约定 ，第二种，约定0RR注 5：当 时，在 上，幂级数z|0的敛散性不
13、定 .即幂级数 (1) 在收敛圆周 00)(nnz上可能收敛, 也可能发散.R|三、幂级数收敛半径 的求法R（(Power series method for finding the radius of)定理（Theorem）4.6 给定幂级数 00)(nnz（1）比值法：若 ，则幂级数 的收敛|lim1nn 00)(nn半径 ；R（2）根值法：若 ，则幂级数 的收n|li 00)(nnz敛半径 ；1（3）当 时， ；0R（4）当 时， ；0例 4 求幂级数 ， ， 的收敛半径 ，并讨0nz0n02nzR论它们在收敛圆周上的情况.解：对于上面三个幂级数都有 ，所以它们的1|limnn收敛半径都
14、是 ，在收敛圆周上的情况如下：1R在 上，因为 ，所以在 上处处发0nz0linz1z散.在 上，当 时收敛，当 时发散 .0nz11z1z在 上处处绝对收敛，因而也是处处收敛.02nz例 5 求幂级数 的收敛半径0)1(nnR解： ，所以收敛半径都是 .|lim1nnli 1其收敛圆周 ，当 时，幂级数 收敛，当|z0z0)(nnz时，幂级数 发散.2z0)1(nn四、 幂级数和函数的解析性(Analysis of power series and functions)定理（Theorem）4.7 设幂级数 有收敛圆盘00)(nnz.则它的和函数Rz|0.)(.)()()( 0202010 nnzzzzf 在 内解析，并且在 内R| R|可以逐项求导任意次.即00)(nnzzf
