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1、市级机关干部同志们：今天向大家推荐文汇报上的二篇关于孩子学习数学方面的文章，文章说小数学家从数数开始，对于儿童来说学会数数并不那么简单。另一篇文章介绍了奥数学习并不是中国的专利，美国现在也很热，如何学好数学，希望通过这些文章的学习能够有所借鉴。市级机关关工委市级机关家长学校2017 年 2 月 16 日从脑科学看小数学家从数数开始人类被冠以“万物之灵 ”，古往今来创造了璀璨的智慧文明。在漫长的文明长河中，数学更是无处不在，无所不能无论是神圣的帕特农神庙，还是不久前登上太空的神舟十一号，都离不开数学在其中所发挥的巧妙作用。谈及数学家，我们大多心生崇敬。事实上，在人生的最初，身为常人的我们与数学家
2、们并没有很大的不同。再伟大的数学家也得从咿呀学语的婴儿学起，数数是所有人的起点。学会数字并不那么简单在日常生活中，数数似乎是稀松平常的小事。但对儿童而言，从拥有估算能力、记住数字单词到形成两者间的联系是一个缓慢的过程。换而言之，学会数字并不那么简单。 数字概念的 习得并非一蹴而就。教育、文化与认知的生理基础缺一不可。已有的研究 总结出儿童至少拥有两个数字表征系统：非语言、依赖于直觉的近似数字系统 (ANS)；使用语言和符号来计数和表征的精确数字表征(exact number representation)系统。ANS 并非人类独享。科学家在非人类动物例如鱼类、啮齿类动物、鲸鱼、海豚和非人类灵长
3、类动物上也陆续发现了ANS 的存在。它从我们的祖先那儿进化而来，不依赖于语言或其它外部符号。ANS 是支持个体对数量信息进行表征和加工的系统，对于估算能力有重要的作用。然而，它的表征具有不精确而充满噪音的特点，且误差会随着数量的增加而增加，例如：对 10 个物体的表征噪音要大于 5 个物体。虽然心理学家在人类以外的动物上也发现了 ANS 的存在，但在噪音发展上人类与非人类间存在很大的不同：首先，ANS 的噪音特性将持续人的终生，在 30 岁前 ANS 的敏锐度将逐渐提升；其次，在控制年龄这个变量后，研究者依然在同一年龄群体中发现了较大的 ANS 敏锐度差异。尽管 ANS 无法像精确数字系统那样
4、准确地区分数字大小，大量的研究发现儿童学龄前的 ANS 敏锐度是预测其日后数学成绩的重要因素。儿童使用 ANS 估计事物数量的能力能有效预测其日后的数学能力。这一观点在正常儿童和计算障碍的儿童中都得到了证实，ANS 敏锐度与其数学成绩间存在显著的正相关。事实上，ANS 的敏锐度不仅是数学能力的独特预测因素，同时也能预测儿童在词汇表达、注意与记忆广度任务中的表现。约翰霍金斯大学的学者认为早期数学估算能力(numerical estimation skills)在儿童数学学习中具有极其重要的意 义。ANS 更多地被 视为与原始的“数感”相联系。后者代表了基本的数字能力 (numerical com
5、petence)，包括我们估算和在心里排列物体，很早就能在幼儿身上显现。科学家发现，大脑的顶叶很可能是执行这项技能的中枢指令官。与 ANS 不同的是，精确数字系统(exact number system)为人类所独有，随着儿童学习使用数字词来表征数字概念而缓慢地发展。有研究发现，那些缺乏语言计数的社会群体也相应地缺乏大数概念，这意味着精确数字系统依赖于语言。由此可见，数字词的习得至关重要。数字词的习得是一场持久战当儿童达到 5 岁左右，他们能在 ANS 和表示数字的词间建立映射关系，此时他们不再需要计数就能用语言估算物体的数量。这种能力往往要在接受学校教育后才能逐渐获得。当儿童最终学会在两个系
6、统间建立联系后，他们就能使用精确的数字来命名估算的数字，并就特定的精确数字词产生近似的表征。值得一提的是，人们建立映射关系的容易程度存在个体差异。换而言之，有些人做起来容易，另一些人则不然。然而即使是在数学教育较为发达的中国、美国和日本，年幼的儿童也要花费长达 18 个月乃至 2 年的时间来学习数字词的意义。数字词的习得堪称一场持久战，并非一蹴而就。以中国儿童为例，他们需要几年时间来学习最初的 3、4 个数字，历经多个相隔数月之久的学习阶段。在第一个阶段，一个 2 岁左右的儿童首先学会背诵包括部分数字的计数表，常常指着他们能够计数的事物。然而，虽然他们已经能够背出计数表，这时候的儿童还不理解数
7、字词的数量表征意义。他们被划分为“一无所知的人 ”(non-knowers)。这个现 象表明，儿童对计数程序的掌握早于其对计数内在逻辑的理解。在学习的最初，儿童对数字序列中下一个数字的理解是逐一进行的。在 2 岁后，儿童进入第二个阶段。此时他们掌握了数字“1”的真正意义，被称为“知道 1 的人”(1-knowers)。直到 6 至 9 个月后，他们才学会了“2”的意义，进一步成为“知道 2 的人”(2-knowers)，进而再慢慢地理解数字“3”、“4”的意义。在这个阶段，他们依然只习得了数字词的一小部分，因此是“知道子集的人”(subset-knowers)。然而，随着下一个阶段的到来，儿童
8、对数字词的理解发生了翻天覆地的变化他们开始意识到计数程序可以用以拓展他们所知道的数字，最后一个数字代表了这个数字集合的基数。这时候，他们已经脱胎换骨，蜕变为“知道基数原则的人”(CP-knowers)。语言会影响我们数数字已有的研究发现，那些所在语言中数字词单一对应的儿童，掌握数字词的意义比起数字词非单一对应的儿童要快。数字词单一对应的语言有英语和耳语，而非严格一一对应的典型代表为日语。对于数字词也缺乏严格对应关系的汉语普通话儿童，研究发现他们掌握数字词意义比英语儿童晚了 3到 6 个月可见语言在儿童的数字语义习得过程中发挥了一定的作用。随着全球化的加剧，越来越多的儿童成为双语乃至多语者。我们
9、的下一代早早地开始学习第二语言，那么这会对儿童的数字词习得产生怎样的影响呢？大量的研究 发现，学习第二语言决定了人们的认知功能(cognitive functioning)，包括认知控制、记忆加工，语言加工等。学习第二语言将改变人们加工语言信息的方式。西班牙心理学家 Pedro Macizo 等人的研究指出，第二语言的习得决定了双语者(bilinguals) 的数字信息加工(processing of numerical information)，他们更倾向于以所接受的语言特征来加工数字，与该语言的母语者表现相似。在科学家看来，双语者似乎对两位数进行整体加工，这或许是源于其更大的工作记忆容量(
10、WM capacities) 。与单语 者相比，双语者在数字认知上拥有一定的优势。对此，来自圣地亚哥大学的心理学家 Katie Wagner 等人持有不同的看法。他们的研究认为，掌握计数程序和其内在逻辑的过程，与所使用的语言相独立，因而对于双语乃至多语儿童而言，计数可以很快从一种语言迁移到另一种语言中。然而，在建立特定语言中的数字词与数字概念的联系时，语言的特异性将导致学习小数字词意义时所面临的困难。空间位置会影响数字认知在儿童的数字习得过程中，有这样一个有趣的现象：他们对呈现在左侧的小数字和右侧的大数字反应更快。这一现象甚至在成人中也有所体现。心理学家用“数字线”(number line)这
11、一概念来解释这个现象。个体心理内部存在一条表征数字的数字线(number line) ，按照从小到大的顺序从右至左排列数字。基于此，心理学家们采用数字线任务考察儿童的数字知识、数学技能以及认知发展水平。在数字线任务中，儿童需要根据几个数字的相对大小在一条线上按照从小到大的顺序进行排列。他们在这个估算任务中的表现足以预测其数学成绩和对数字的记忆。儿童将数字在线段上准确排列的能力，将随着年龄发展不断提高，但提高程度受限于他们自身所熟悉的数字范围，特别是儿童对于口头数字系统(verbal number system)的了解程度。 在美国，奥数不止是华裔家庭的独舞都说国内的家长得了一种慢性传染病，一种
12、名叫奥数的高烧。殊不知，奥数在美国，发烧程度不亚于中国，从近年来的国际奥林匹克数学竞赛可见端倪。今年的国际奥数竞赛，中国队总分排名第三，紧追冠军美国队、亚军韩国队。这已是美国队连续第二次夺得冠军。“在美国，每 过一两个月，波士顿会涌入全美乃至全世界来参加数学比赛的学生队伍，哈佛、麻省理工会举办各种数学赛。”聊起“ 奥数 ”，冯承德有说不完的话。在中国教了 26 年数学，在美国教了 27 年数学，冯承德对“奥数” 感情很深。他的妻子徐云华、儿子冯祖鸣也都是中学数学老师。冯祖鸣在数学教育圈也算传奇：14 岁进入北大少年班，18 岁考入约翰霍普金斯大学数学专业硕博连读，博士毕业后，他选择到一所中学教
13、书，至今已教了近 20 年，他的学生包括马克扎克伯格。日前，扎克伯格夫妇在网上发视频谈到对各自影响极深的老师，扎克伯格唯一提到的老师就是冯祖鸣，“冯老师的数学社如同游戏般的教学，改变了我对人生的很多看法”。冯祖鸣还有一个更为响当当的名头自 2003 年起担任美国奥数国家队总教练，此后，美国队的成绩基本保持在前 5 名。2014 年，罗博深接棒总教练，他是冯祖鸣的学生。这个数学之家到底如何看待奥数？ 奥数是疯狂的游戏，还是拔尖孩子们的天堂？ 中美数学教育的差异在哪里？ 近日回到家乡上海的冯承德与记者聊起“奥数在美国” 。“孩子在前面做题，家长在后面做题”上世纪 80 年代，冯承德在天津办数学学校
14、，南开大学的陈省身来看过几次，“我也弄不懂，中国人数学为什么这么好。”陈省身这话 ，冯承德在到美国多年后，依然深以为是。冯承德和妻子徐云华 1964 年均毕业于华东师范大学数学系，并被一同分配至天津当中学数学老师。上世纪 80年代，受教育部门委托，冯承德开始参与兴办天津数学学校。“每周末上 课，从全市挑选数学好苗子。”冯承德说，这个课外学校不完全是为了数学竞赛，更多是为了让对数学学有余力的小朋友有更多学习的机会。这是国内奥数训练的初始年代，与如今训练收归国家队和大学不同，当时的训练归在地方，冯承德因此得以在10 多年的办学中，带出 2 个国际奥数金牌学生，他颇为自豪。也是这个时期，冯承德接待了
15、约翰 霍普金斯大学的朱利安斯坦利。1979 年，斯坦利在霍普金斯大学创建早慧少年中心，这是全美历史最悠久的天才教育研究机构之一，校友包括扎克伯格、谢尔盖布林、Lady Gaga 等。这个早慧少年发现与培养计划初筛采用的是 SAT 数学卷、文学卷。在斯坦利看来，如果 13 岁以下的孩子能在这套美国大学入学考卷中取得 700 分以上 (单项满分 800)的成绩，就属于早慧。1986 年，冯承德要来了 SAT 数学卷，译成中文给天津的初一学生做。结果，一个班级测出了 30 多个早慧少年。斯坦利惊呆了，回到美国就给总统写信，“20 年后，如果我们再没改进，中国对手要把我们打败了。”这是第一次，冯承德意
16、识到中国孩子在数学上有天赋。冯承德在天津办数学学校，南开大学的陈省身来看过几次，“我也弄不懂，中国人数学为什么这么好。” 陈省身这话，冯承德到美国多年后，依然觉得很以为是。“美国人数学 竞赛很多，华人家庭的参与氛围尤其浓郁。”冯承德 难忘比 赛时的一些画面，500-1000 人的场子，孩子们在前面做题，家长们在后面也在做题，真是激动人心的场面。到最后一轮，题目刚打出来，家长还没看懂，小孩已经报出答案了。冯承德说不清，到底是华人家庭的参与热情、亚洲教育的特别方式，还是华人乃至亚裔的独特基因，让中国、印度、韩国等亚裔孩子在数学上有着天然优势，平均实力很强。随着教学深入，他对中式与美式数学教育的差异，感受也更为明显。在天津教了 26 年数学后，1990 年，冯承德和妻子赴美，在奥克拉荷马州科学与数学中学担任数学教师。这是专为自然科学和数学方面的优秀生举办的学校，学制两年，只有 11 和 12 年级。在这所学校，单变量微积分是必修课，
