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1、双曲线及其标准方程教学设计【教学目标】知识与技能：1 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。2 能用坐标发解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题，在解决问题的过程中，体会 a,b,c,的几何意义以及双曲线性质的应用3 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用。过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力情感、态度与价值观：通过类比的思想让学生感受的事物之间的相互联系，通过对定义的学习培养学生思考问题的严谨性。【教学
2、重点】重点：双曲线的有关概念及类比椭圆的学习方式学习双曲线的简单几何性质。难点：运用概念及性质解决有关数学问题和实际问题，数形结合的思想，方程的思想及转化的思想在研究问题和解决问题中的应用。【教学程序与设计环节】课后作业 巩固本节课的知识及方法巩固练习 通过例题的讲解和让学生板演巩固方法【教学仪器】电脑，投影仪【教学过程与操作设计】【情景一】问题引入：前面我们一起学习了椭圆，请同学们回忆一下椭圆的定义是什么？（请一位同学回答）如果把定义中距离的和改成距离的差那又变成了什么曲线了呢？ 【设计意图】与椭圆的定义进行类比，引起学生认知上的冲突创设情境组织探究探索研究归纳总结 与以前所学知识类比，引起
3、认知上的冲突 通过对双曲线定义的介绍，组织学生分析探究定义的关键词词 在讨论和探索中，进一步要求学生思考如何推导双曲线的标准方程以及推导方程的步骤 师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问【情景二】 （幻灯片：双曲线的几何画板演示）【设计意图】通过直观感受让学生印象更深刻【情景三】 （切换幻灯片）让同学们分组讨论总结出双曲线的定义，并思考定义中关键词是什么？（教师板书课题：双曲线及其标准方程） （3 分钟后）根据讨论结果总结出：定义中的差的绝对值和常数小于两定点距离是关键词（切换幻灯片）【设计意图】通过分组讨论培养学生合作学习的能力和意识【情景四】了解了双曲线的定义后，我们下
4、面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家先回顾一下推导轨迹方程的一般步骤是什么（请学生回答教师给予点评） ，再请同学们思考椭圆标准方程的推导过程可不可以类似的得出双曲线的标准方程呢？【设计意图】进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题【问题解决】.标 准 方 程 的 推 导 建 系 1F2使 轴 经 过 两 焦 点 ， 轴 为 线 段的 垂 直 平 分 线 。x21,F2,y xyO 设 点设 是 双 曲 线 上 任 一 点 ，),(yxMM焦 距 为 ， 那 么 焦 点 又 设 点 与的 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 。02c)0,(),(21cM21,Fa 列 式 F21即 ay
5、xyx)()( 2 化 简 两 边 同 除 以 得)(22ac122yax )()( 2ac得 02acccQ)0(22b令代 入 得 )0,a(1byax22 这 个 方 程 叫 做 双 曲 线 的 标 准 方 程 。 它 所 表 示 的 是 焦 点 在 轴 上x)0,(),(21cF.22b讨论：以上是焦点在 X 轴上的情况，对于焦点在 Y 轴上的情形是什么样的呢？【设计意图】经过讨论可根据椭圆方程的类比得出结论这个问题是对该方法的进一步的应用，使学生熟练和运用这种思想，并用之培养学生数学分析问题、解决问题的能力【例题讲解】1.已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 分 别 为 ， 双 曲 线
6、 上 一 点 到距 离 差 的 绝 对 值 等 于 6， 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 。 )0,5(),(21FP21,F解 ： 因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 轴 上 ， 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为x),(2babyax因 为 ， 所 以 ， 所 以10,6c53c.16322b因 此 ， 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 .1692yx小 结 ： 求 标 准 方 程 要 做 到 先 定 型 ， 后 定 量 。例 2.已 知 A， B 两 地 相 距 80m， 在 A地 听 到 炮 弹 爆 炸 声 比 在 B地 晚 2秒 ， 且 声 速 为340m/s， 求 炮 弹
7、 爆 炸 点 的 轨 迹 方 程 。分 析 ： 假 设 爆 炸 点 为 P， 爆 炸 点 距 A地 比 B地 远 ；爆 炸 点 P的 轨 迹 是 靠 近 B处的 双 曲 线 的 一 支 。 3402AA BP求 适 合 下 列 条 件 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 。 焦 点 在 在 轴 上 ， ； 焦 点 在 在 轴 上 ， 经 过 点 .x3,4ba)2,15(),2(答 案 : 1962y )0,(2babyax 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为代 入 点 得),35(),(1235ba令 21,nm则 135nm解 得 n故 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 .2
8、yx练 一 练解 ： 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 使 两 点 在 轴 上 ， 并 且 坐 标 原点 与 线 段 的 中 点 重 合 。 xOyBA,xOAB设 爆 炸 点 的 坐 标 为 ， 则 ，P),( 680234P即 .340,682a又 ,80所 以 .,2cb因 为 ,6PBA所 以 .0x因 此 炮 弹 爆 炸 点 的 轨 迹 （ 双 曲 线 ） 的方 程 为 ).0(14156022xy xyOPA B【设计意图】例 1 是求双曲线标准方程的简单应用，可针对学生的实际情况添加或减少练习的数量。例 2 体现了双曲线在实际生活中的应用，即利用两个不同的观测点
9、听到一炮弹爆炸声的时间差，来确定爆炸点所在曲线的方程，培养学生的应用数学的能力和意识。 【情景五】课堂小结：1、本节课我们共同学习了双曲线的定义及其标准方程。2、对于定义我们要了解定义中的关键词和椭圆定义中的异同点 3、对于双曲线标准方程的推导要掌握推导方法以及 a,b,c 之间的关系课后作业：1.已知定点 A(3,0)和定圆 c：(x+3)2+y2=16 ，动圆与圆 c 相切， 并过点 A，求动圆圆心 P 的轨迹方程2 请大家课后预习下一节双曲线的简单性质的有关内容。【设计意图】强调新课的重点内容，布置作业巩固所学知识说明：一多媒体设计问题均用 Powerpoint 放映，同时结合几何画板，
10、使学生体会数形结合的思想对于学生思考探究的情况，利用投影仪反馈，以充分利用课堂时间二设计后记1本节课的设计紧扣解析几何用代数方法研究几何问题的本质，数形结合，以形助数通过对基本方法的巩固教学，使学生能把学习知识、应用知识、探索发现和培养良好的科学态度、思维品质更好的结合起来，熟练掌握位置关系的判断方法在教学及探索过程中，利用几何画板等多媒体工具，使学生进一步体会以形助数的思想，激发学生的学习兴趣，培养学生的运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题、思考问题，分析问题，进一步提高他们分析和解决问题的能力2在进行具体的教学时，还应该注意以下几点：（1）在探索的过程中，注意突出用代数方法研究的思想，几何方法为辅（2）在巩固方法的同时，让学生自己发现容易出错或忽略的地方，以便引起足够的重视（
