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1、1A 题：电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文研究电力变压器铁心柱截面的优化设计问题。针对问题一：确定铁心柱的有效截面积最大，是一个非线性规划问题。我们建立了关于铁心柱的有效截面积最大的多目标最优决策模型，运用了数学软件lingo进行求解的方法，在铁心柱外接圆直径为650mm时，保证有效面积最大的情况下，得出了级数为14时，各级数宽度、厚度以及铁心利用率最大为96.66%，即此时其有效截面积最大为.8 mm 2的结论。针对问题二：问题二是先通过适当增加铁心柱外接圆的直径，来优化铁心截面设计，再在此基础上设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者各自的公差带。结合问题一，建立规划方程，运用L
2、ingo 软件解得直径增加的最佳值为4mm。通过分析将线圈筒与铁心柱的关系确定为孔与轴的关系，将优化后的直径值654mm 取为基本尺寸，基准值定为基孔制，运用国际孔与轴的基本偏差表的数据及计算公式建立模型并求解，得到的结果为（以公差等级6 为例）：线圈内筒的公差带是 ，铁心柱外接圆的公差654.071 654.20m:.54 .9m:针对问题三：问题三是要分别针对问题一、问题二给出增加油道后铁心柱的设计及相应的油道位置，根据题给的冷却油道数的选择表，可确定半圆中油道的个数为2。针对问题一，考虑到被油道分割的五个部分的面积要近似相等，建立目标规划模型，运用Lingo 软件，解得半圆中油道的位置在
3、12 级和45 级之间，并此基础上结合第一问中的思路设计出此时的铁心柱截面积。针对问题二，为了使铁心率尽可能的大，结合第二问的思路，得到铁心率值最大时的外接圆的半径值为337.3，求出相应公差带。在直径为674.6 时，通过建立非线性整数规划模型比较分析油道在不同级之间，分割面积的相似度，得出此时油道在半圆的位置为12 级和45 级之间。关键字：非线性规划、多目标优化决策模型、2一、问题重述电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进
4、及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图 1 所示。截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为 5 的倍数（单位：毫米） 。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为 26 毫米，硅钢片的宽度最小为 20 毫米。铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。而
5、叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表 1 选取。表 1 铁心柱截面级数的选择铁心柱直径 mm级数80-195 5-7200-265 8-10270-390 11400-740 12-14表 2 冷却油道数的选择铁心柱直径 mm 半圆中 6mm 油道个数380-410 0420-500 1510-690 2700-840 33760 以上 15问题一：当铁心柱外接圆直径为 6
6、50 毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为 380 毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下 6 毫米厚的水平空隙（如图
7、2 所示） ，空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。具体油道数可按表 2 选取。油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。二、问题分析2.1 对问题一的分析问题一给出了铁心柱外接圆直径为 650mm 时,该如何划分铁心柱截面的级数、各级数宽度和厚度的问题。对此，我们通过分析铁心柱级数、各级数宽度与厚度之间的关系，我们建立了以有效截面积为目标函数，各级数宽度与厚度为约束条件的非线性的多目标优化决策模型。并运用 Lingo 软件优化出了最佳的级数划分及各级数宽度与厚度的确定。2.2 对于问题二的分析
8、问题二要求我们结合铁心柱截面的设计而分别设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者的公差带。2.21优化铁心截面的设计，即为使得铁心柱有更好的截面形状，求出铁心柱的外接圆直径的增加范围。在问题一的基础上，列出规划方程，并运用Lingo 软件求解即可得到优化后的截面设计。2.22通过分析可以认为线圈筒与铁心柱的关系在机械上等价于孔与轴的关系。首先，结合优化后的铁心柱截面设计，将其外接圆的直径定为孔与轴的基本尺寸，其次，确定孔与轴的配合类型，根据题意以及相关资料,可以将该题的孔与轴的关系确定为基孔制，同时根据题目给出的条件“留有一定的间隙以便于安装和4维修”，以及相关资料对间隙配合特性的描述，将
9、该题孔与轴的配合关系确定为间隙配合；再者，确定公差等级，因为没有严格的计量方法来定该题的公差等级，根据相关资料对各个等级的定性描述，对公差等级为58 级的范围进行分析；根据各自的公差等级来计算不同基本尺寸下的公差值；最后，通过查基本尺寸处于不同范围下的“国际孔与轴的基本偏差表（见附录II）”分别得到孔与轴在表中的偏差值，再根据孔的基本偏差和标准偏差，运用公式ei = es IT计算它的另一个偏差,同理根据轴的基本偏差和标准偏差，运用公式EI = ES IT 计算得到另一偏值。23 对于问题三的分析问题三要求是分别针对问题一和问题二的情况，给出增加油道后铁心柱的设计，并指出油道的位置。首先，确定
10、冷却油道的个数。因为铁心柱外接圆的直径在510 690 mm 范围内，查题给的冷却油道数的选择表（如下），得半圆中的油道个数为2 个；铁心柱直径mm 半圆中6mm 油道个数。铁心柱直径 mm 半圆中 6mm 油道个数380-410 0420-500 1510-690 2700-840 3表 2 冷却油道数的选择其次，确定冷却油道的具体位置。因为油道的分布是上下对称的，所以只要考虑上半圆中油道的位置选择即可得到整个圆中四个油道的具体位置。运用目标规划模型可以得到油道分布的最佳位置，即圆被油道分割成的五部分的面积相似程度最高；最后，运用 Lingo 软件求解目标规划模型得到相应的最具利用率的铁心柱
11、截面面积；三、模型假设假设一、叠片系数为1，即不考虑绝缘漆膜厚度，硅钢片完全平整，之间没有任何缝隙；5假设二、讨论的是心式铁心柱结构；假设三、铁心柱与线圈筒是间隙配合；假设四、配合规定为基孔制；假设五、油道的分布上下对称；四、符号说明S铁心柱各级截面面积 ES孔的上偏差)(il第 i 级长度 I孔的下偏差w第 i 级宽度的一半 es轴的上偏差()sum第一级宽度的一半与第二级到第 i 级宽度的和 i轴的下偏差r外接圆半径 I公差单位d铁心柱截面外接圆直径 k公差值IT标准公差 ,pq油道的级数，且 pqG基本尺寸分段的计算尺寸 ib半圆中第 级截面的面i积； r铁心柱外接圆半径变化范围 j铁心
12、的截面率注：表中 1.4i五、模型的建立与求解51 模型一的建立与求解根据题意，我们建立了以截面积为目标函数，级数与各级数宽度、厚度为约束条件的非线性规划模型，模型如下： niiwlS1)()(22:rsumlst)()()( iiL1lf()2()liK6*,5)(Nkil2613w0)(6il此题给出的截面外接圆直径为 650mm.因此，我们通过查阅表（1）得知，此时的铁心柱级数应在 1214 级之间选择，在运用 Lingo 软件优化时，当我们选择级数为 12 时，即模型中 n=12 时，得到如下优化结果：第 i 级 宽度 2w(i) 厚度 l(i)1 640 56.82 620 40.8
13、3 595 33.24 565 29.85 530 27.56 490 25.47 445 23.48 395 21.29 340 18.910 275 17.511 205 13.912 120 11.0铁心有效截面积 s铁心利用率 j 96.11当我们选择级数为 13 时，即模型中 n=13 时，得到如下优化结果：第 i 级 宽度 2w(i) 厚度 l(i)1 640 56.82 620 40.83 595 33.24 565 29.85 535 23.96 500 23.17 460 22.08 415 20.59 365 18.810 315 15.411 255 14.712 190
14、 11.913 110 9.5铁心有效截面积 s .97铁心利用率 j 96.41当我们选择级数为 14 时，即模型中 时，得到如下优化结果：14n第 i 级 宽度 2w(i) 厚度 l(i)1 640 56.82 625 32.53 600 35.74 575 26.65 545 25.66 515 21.07 480 20.98 440 20.19 395 18.910 350 15.811 300 14.512 245 12.713 180 11.314 105 8.0铁心有效截面积 s .8铁心利用率 j 96.66通过观察以上三个优化结果，可明显得知，铁心柱外接圆直径以 650mm
15、作为设计标准时，当级数为 14 时，铁心利用率达到 96.66%，铁心柱有效截面积达到最大。铁心柱直径 mm级数80-195 5-7200-265 8-10270-390 11400-740 12-14760 以上 15表 1 铁心柱截面级数的选择5. 2 模型二的建立与求解521 优化铁心柱的截面形状根据题意，增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状，即通过增加铁心柱外接圆的半径 来增加铁心利用率 。rj问题一中已经求解得到，当直径为650 mm时， 因此要求得一个 96.58%,8的取值范围，使得此时 ，由此得到规划方程：r 96.58%,jfmax()rs.t 5li(1)2
16、6w0li()()lifKf2120.9685nijlwirf122()()1,3,)ikirliin通过Lingo 软件（程序见附录V）得到运行结果如下：铁心柱外接圆半径（mm）325 326.1 326.2 326.3 326.4 326.5对应的铁心率 0. 0. 0. 0. 0. 0.铁心柱外接圆半径（mm）326.6 326.7 326.8 326.9 327.0 327.1对应的铁心率 0. 0. 0. 0. 0. 0.铁心柱外接圆半径（mm）327.2 327.3 327.4 327.5 327.6对应的铁心率 0. 0. 0. 0. 0.将数据绘制成曲线图，如下9铁 心 率0.966560.966570.966580.966590.96660.966610.966620.96663326 326.5 327 327.5 328外 接 圆 半 径利用率因此根据图
