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1、1课题 14.1 1. 勾股定理直角三角形三边的关系 总序号课型 新课 授课日期 2013教具 教学方法 讲练结合教学目标 1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.会应用勾股定理解决实际问题重点、 探索勾股定理的证明过程难点 运用勾股定理解决实际问题教 学 内 容 二次备课（或师生活动设计）教学过程本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺 直角边 a 直角边 b 斜 边 c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度 a、 b、 c之间
2、的关系图 14.1.1 是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显 然，两个小正方形 P、 Q 的面积之和等于大正方形 R 的面积即2AC ，222图 14.1.1这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图 14.1.2，如果每一小方格表示 1 平方厘米，那么可以得到：正方形 P 的面 积 平方厘米；正方形 Q 的面积 平方厘米；（每一小方格表示 1 平方厘米）图 14.1.2正方形 R 的面积 平方厘米我们发现，正方形 P、 Q、 R 的面积之间的关系是 由此，我们得出直角三角形的三
3、边的长度之间存在关系 做一做在图 14.1.3 的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为 5cm、 12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜3边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立（每一小格代表 1 平方厘米）图 14.1.3概 括数学上可以说明： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、 b，斜边为 c，那么一定有 a b2c ，这种关系我们称为勾股定理2勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系例 1 如图 14.1.4，将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，长为 2.16 米，求梯子上端 A 到墙的底边的垂直距离（
4、精确到 0.01 米）图 14.1.4解 如图 14.1.4，在 Rt中，.米， .米，根据勾股定理可得4 .（米） AC22 22 . .答： 梯子上端 A 到墙的底边的垂直距离 约为 4.96米练习1. 在 Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知 a 6， b10， 求 c；（2） 已知 a 24， c25， 求 b2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是 3 厘米和 4 厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图 14.1.5 完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图 14.1.6 所示的图形大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得
5、到勾股定理的结论图 14.1.5 图 14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图 14.1.7 所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的读一读5我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦图 14.1.7 称为“弦图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的图 14.1.8 是在北京召开的 2002 年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“ 弦图”，它标志着中国古代的数学成就图 14.1.7 图 14.1.8例 2 如图 14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点 A、 B 之间的距离，一个观测者在点 C 设桩
6、，使三角形恰好为直角三角形通过测量，得到 AC 长 160 米，长 128米问从点 A 穿过湖到点 B 有多远?图 14.1.9解 如图 14.1.9，在直角三角形中，AC米， 米，根据勾股定理可得 96（米）2BCA21860答： 从点 A 穿过湖到点 B 有 96 米练习1. 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，求四边形D 的面积与周长62. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走 8 千米，又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，再折向北走到 6 千米处往东一拐，仅走 1 千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的直 线距离是多
7、少千米?（第 1 题） （第 2 题）板书设计教学回顾7课题 14.1 2. 直角三角形的判定 总序号课型 授课日期 2013.教具 教学方法教学目标 知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用过程与方法：通过“ 创设情境 -实验验证- 理论释意-实际应用- 探究活动” 的探索过程，让学生感受知识的乐趣情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会逆向思维所获得的结论明确其应用范围和实际价值重点、 理解和应用直角三角形的判定难点 运用直角三角形判定方法进行解决问题教学教 学 内 容 二次备课（或师生活动设计）8过程古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的 13 个结，然
8、后如图 14.1.10 那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角你知道这是什么道理吗?图 14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a3， b4， c5；（2） a4， b6， c8；（3） a 6， b8， c10可以发现，其中按（1）、 （3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形在这三组数据中， （1）、（3）两组都满足 a b c ，而组22（2）不满足以后我们会证 明一般的结论：如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系： a b c ，22那么这个三角形是直角三角形古埃及人所画的三角形的三边长恰好
9、满足这样的关系，所以其中一个角是直角例 3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 99解 因为 25 ，22 ， ，22所以根据前面的判定方法可知，以（1）、 （2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形若是，指出哪一条边所对的角是直角（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 82. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题 1
10、4.11. 将图 14.1.6 沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形利用此图的面积表示式验证勾股定理（第 1 题）2. 已知 中，B， AC cm， cm，求的长. 已知等腰直角三角形斜边的长为 2cm，求这个三角形的周长. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆试探索这三个圆的面积之间的关系10（第题） （第 5 题）5. 如图，已知直角三角形的三 边分别为 6、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积6. 试判断以如下的 a、 b、 c 为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条
11、边所对的角是直角?（1） a25， b20， c15；（2） a1， b2， c3；（3） a40， b9， c40；（4） abc512 13阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了我国古代也发现了这个定理据周髀算 经记载，商高（公元前 1120 年）关于勾股定理已有明确的认识， 周髀算经中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五 ”同书中还有另一位学者 陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日勾股 这里11陈
12、子已不限于“ 三、四、五 ”的特殊情形，而是推广到一般情形了人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有 记载，很难区分这个定理是谁最先发明的国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras ）学派首先 发现的，因而称 为毕 达哥拉斯定理勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多1940 年卢米斯（ E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子毕氏命题，作者收集了这个著名定理的 370 种证明，其中包括大画家达芬奇和美国第任总统詹姆士阿 加菲尔德（ James Abram Garfield， 18311881
13、）的证法美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会 发现 那12一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树板书设计教学回顾课题 14.1.3 反证法 总序号课型 新课 授课日期教具 教学方法 讲练结合教学.13教学目标 1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.重点 反证法证题的步骤.难点 理解反证法的推理依据及方法.教 学 内 容 二次备课（或师生
14、活动设计）教学过程一.提问：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（ 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。例如：在ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b,如果C=90，a、b、c 三边有何关系？为什么？解析：由C=90可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 c2 二、探究14问题：若将上面的条件改为“在 ABC 中，AB=c ，BC=a，AC=b,C90”，请问结论 a2 +b2 c2成立吗？请说明理由。探究：假设 a2 +b2 c2，由勾股定理可知三角形 ABC 是直角三角形，且 C=
