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1、 求顶点坐标的四种方法学习了二次函数，求二次函数图象的顶点坐标作为一种重要题型时常见到，在解决有关问题时，我们可以根据题目的不同特点，选择恰当的求解方法.一、配方确定法对于二次函数 y=ax2+bx+c，根据系数 a、b 的特点，通过配方变成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式,这时的顶点坐标为(h,k).例 1 求二次函数 y=x2-2x-1 图象的顶点坐标及它与 x 轴的交点坐标分析：要求该函数图形的顶点坐标，观察关系式的特点，其二次项系数为 1，一次项系数为偶数，所以利用配方法求顶点坐标比较合适.解：因为 y=x2-2x-1=x2-2x+1-1-1=(x-1)2-2所以顶点坐标为（1，
2、-2） 令 y=0，得 x2-2x-1=0 解得 x1=1+ ,x2=1- .所以 与 x 轴的交点坐标为(1+ ，0） ， （1- ,0）.22提示:当提取二次项系数后,一次项的系数是偶数,则一般利用配方法求二次函数的顶点坐标.二、公式确定法对于二次函数 y=ax2+bx+c，当系数 a、b 之间没有什么特殊关系时，可利用公式法求二次函数图象的顶点坐标，即二次函数图象的顶点坐标是（ ）.abc4,22例 2 已知二次函数 y=2x2-5x+1，求该函数图象的顶点坐标.分析：由于函数 y=2x2-5x+1 的系数 a、b 没有什么特殊的关系，所以利用公式法求顶点坐标比较方便.解：因为 a=2，
3、b=-5，c=1，所以 ， ，452b 81724)5(12ac所以二次函数 y=2x2-5x+1 图象的顶点坐标是（ ）.,提示：这类问题也可以只求到 的值，然后将求到的值直接代入关系式求顶点的纵坐标，ab有时会更简单.三、对称点确定法若点(m,k)和(n,k)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个已知点,则这两点关于抛物线的对称轴对称,且对称轴是直线 x= ,抛物线顶点的横坐标是 ,将 x= 代入nm2nmy=ax2+bx+c 就可确定顶点的纵坐标.例 3 已知二次函数 y=2x2+bx+5 的图象经过点(2,3)和(-4,3),求该抛物线的顶点的坐标.分析:因为点(2,3)和(-4,3
4、)的纵坐标相同,所以可两点关于对称轴对称,则对称轴为直 线 x=,即顶点的横坐标为-1,又对称轴为 x=- ,所以 b=4,12)4( 42b所以顶点的纵坐标为 y=2(-1)2+4(-1)+5=3,所以抛物线的顶点的坐标是(-1,3).提示:本题也可以将 x=2,y=3 直接代入关系式先求到 b 的值,然后再利用配方法或公式法求解.四、两点式确定法对于形如 y=a(x-m)(x-n)型的二次函数图象的顶点坐标可以用简便的方法求解,因为这个函数与 x 轴的两个交点为(m,0)和(n,0),所以其顶点横坐标为 ,将 x= 代入2nm关系式可得顶点的纵坐标为-a .2)(nm例 4 已知二次函数 y= (x+5)(x-3),求次二次函数图象的顶点坐标.1分析:本题然后将关系式化为一般形式,可以求到顶点的坐标,但化简比较麻烦,因为根据图象可以观察到与 x 轴两个交点的坐标为(-5,0)和(3,0),所以该抛物线顶点的横坐标为,顶点的纵坐标为- ( )2=-8.1235235所以二次函数图象的顶点坐标为(-1,-8).提示:把求到的顶点的横坐标直接代入关系式求解也比较简单.
