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1、专题七 概率与统计 第 3讲 统计与统计案例 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 本数字特征的计算 、 各种统计图表 、 线性回归方程 、 独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题 ， 如概率与统计交汇等 . 大部分为选择题 、 填空题 ，重在考查基础知识 、 基本技能 ， 有时在知识交汇点处命题 ， 也会出现解答题 ， 都属于中 、 低档题 考 情 解 读 主干知识梳理 (1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取 体中的个体较少 . (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分 ， 按事先确定的规则在各部分中抽取 体中的个体数较多 . (3)分层抽样特点是将总体分成几
2、层 ， 分层进行抽取 体由差异明显的几部分组成 . (1)频率分布直方图 小长方形的面积 组距 频率组距 频率 ； 各小长方形的面积之和等于 1； 小长方形的高 频率组距， 所有小长方形的高的和为1组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时 ， 用茎叶图表示数据的效果较好. (1)众数 、 中位数 、 平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数 ) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边
3、中点的横坐标之和 ( 2 ) 方差 ： n( x 1 x )2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 . 标准差 ： s 1n x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 . (1)相关关系的概念 、 正相关和负相关 、 相关系数 . ( 2 ) 最小二乘法：对于给定的一组样本数据 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ，y 2 ) ， ， ( x n ， y n ) ，通过求 Q i 1n( y i a bx i )2最小时，得到线性回归方程 y bx a的方法叫做最小二乘法 . 对于取值分别是 分类变量 ，其样本频数列联表是 y1 计 x1 a b a b x2 c d c
4、 d 总计 a c b d n 则 2) n 2 a b c d a c b d ( 其中 n a b c d 为样 本容量 ). 热点一 抽样方法 热点二 用样本估计总体 热点三 统计案例 热点分类突破 例 1 (1)(2013陕西 )某单位有 840名职工 ， 现采用系统抽样方法抽取 42人做问卷调查 ， 将 840人按 1,2， ， 840随机编号 ， 则抽取的 42人中 ， 编号落入区间 481,720的人数为 ( ) 点一 抽样方法 思维启迪 系统抽样时需要抽取几个个体 ， 样本就分成几组 ， 且抽取号码的间隔相同； 解析 由 20， 即每 20人抽取 1人 ， 84042 所以抽取
5、编号落入区间 481,720的人数为 12. 720 48020 24020 答案 B (2)某学校共有师生 3 200人 ， 现用分层抽样的方法 ， 从所有师生中抽取一个容量为 160的样本 ， 已知从学生中抽取的人数为 150， 那么该学校的教师人数是 _. 思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例 . 解析 本题属于分层抽样 ， 设该学校的教师人数为 x， 所以 1 6 03 2 0 0 1 6 0 1 5 0x ，所以 x 2 0 0 . 200 (1)随机抽样各种方法中 ， 每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称 “ 等距 ” 抽样 ， 被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样
6、满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例. 思 维 升 华 变式训练 1 (1) 某校高一 、 高二 、 高三分别有学生人数为495,493,482， 现采用系统抽样方法 ， 抽取 49人做问卷调查 ， 将高一 、 高二 、 高三学生依次随机按 1,2,3， ， 1 470编号 ， 若第 1组有简单随机抽样方法抽取的号码为 23， 则高二应抽取的学生人数为 ( ) 析 由系统抽样方法 ， 知按编号依次每 30个编号作为一组 ， 共分 49组 ， 高二学生的编号为 496到 988， 在第 17组到第 33组内 ，第 17组抽取的编号为 16 30 23 503， 为高二学生 ，第
7、33组抽取的编号为 32 30 23 983， 为高二学生 ， 故共抽取高二学生人数为 33 16 17， 故选 C. 答案 C (2)(2014广东 )已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 和图 所示 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查 ， 则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( ) 0 0 0 0 解析 该地区中 、 小学生总人数为 3 500 2 000 4 500 10 000， 则样本容量为 10 000 2% 200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000 2% 50% 20， 故选 A. 答案 A 例 2 (1)(2014山东 )为了研究某药品的疗效 ， 选取若干
8、名志愿者进行临床试验 ， 所有志愿者的舒张压数据 (单位： 分组区间为 12,13)， 13,14)， 14,15)，15,16)， 16,17， 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组 ， 第二组 ， ， 第五组 ， 如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 0人 ， 热点二 用样本估计总体 第三组中没有疗效的有 6人 ， 则第三组中有疗效的人数为 ( ) 思维启迪 根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数 ， 然后利用第三组的频率和无疗效人数计算； 以第三组人数为 50 18， 有疗效的人数为 18 6 12. 答案 C 解析 志愿者的总人数为20 0 . 1 6 0 . 2 4 1 5
9、0 ， (2) 也称为可入肺颗 粒物 ， 如图是根据某地某日早 7点至 晚 8点甲 、 乙两个 数据 (单位：毫克 /每立方米 )列出的茎 叶图 ， 则甲 、 乙两地浓度的方差较小的是 ( ) 思维启迪 直接根据公式计算方差 . 解析 ( 12 ， ( 12 ， ()2 ()2 ()2 12. 112 ()2 ()2 ()2 29. 112 所以甲 、 乙两地浓度的方差较小的是甲地 . 答案 A (1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表 、频率分布直方图 、 茎叶图 其高低能够描述频率的大小 ， 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识 ， 同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体
10、的特征 思 维 升 华 数 ， 具体问题中要能够根据公式求解数据的均值 、 众数和中位数 、 方差等 . (2)由样本数据估计总体时 ， 样本方差越小 ， 数据越稳定 ， 波动越小 . 思 维 升 华 变式训练 2 (1)某商场在庆元宵促销活动中 ， 对 元宵节 9时至 14时的销售额进行统 计 ， 其频率分布直方图如图所示 ， 已知 9时至 10时的销售额为 元 ， 则 11时至 12时的销售额为 _ 万元 . 解析 由频率分布直方图可知： 0 0 2 所以 x 10. 10 (2)(2014陕西 )设样本数据 ， 和 4， 若 a( i 1,2， ，10)， 则 ， ) a,4 a,4 a
11、 a 解析 x 1 x 2 x 1010 1 ， y i x i a ， 所以 ， a， 方差不变仍为 4. 故选 A. A 例 3 (1)以下是某年 2月某地区搜集到的新房屋的销售价格 热点三 统计案例 房屋面积 x/15 110 80 135 105 销售价格 y/万元 2 根据上表可得线性回归方程 y bx a中的 b 0 . 1 9 6 2 ，则面积为 1 5 0 m 2 的房屋的销售价格约为 _ _ _ _ _ _ _ _ 万元 . 思维启迪 回归直线过样本点中心 ( )； x ， y 解析 由表格可知 x 15( 1 1 5 1 1 0 80 1 3 5 105) 109 ， y 15 ( 2 4 . 8 2 1 . 6 1 8 . 4 2 9 . 2 2 2 ) 2 3 . 2 . 所以 a y b x 2 3 . 2 0 . 1 9 6 2 109 1 . 8 1 4 2 . 所以所求线性回归方程为 y 0 . 1 9 6 2 x 1 . 8 1 4 2 . 故当 x 150 时，销售价格的估计值
