《数学论文-一类线性变换多项式的维数特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学论文-一类线性变换多项式的维数特征（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一类线性变换多项式的维数特征（孝感学院数学系，湖北 孝感 ）摘要：本文给出了一类线性变换多项式的维数特征定理，将该定理应用于矩阵多项式的秩问题，获得或推广了现行文献中许多结果。本文的主要结果是：定理 1设 ， ， 是数域 上 维线性空间 的(),fxgPX(,)1fgPnV一个线性变换，则 的充分必要条件是 .0()()rfg定理 2设 ， ， 两两互素，()ifx,2imL12(),mfxxL是数域 上 维线性空间 的一个线性变换.则PnV.1 1()()()mi iirfnrf 关键词：矩阵的秩；矩阵多项式；线性变换A kind of linear substitution multino
2、mial dimension characteristicSun Tian( Department of Mathematics, Xiaogan University )Abstract: This article has produced a kind of linear substitution multinomial dimension characteristic theorem, applies this theorem in the matrix multinomial order question, obtained or has promoted in the present
3、 literature many results The main results of this paper are:Theroem1 soppose ， ， is on number field P a n (),fxgPX(,)1fgUygur linear space V linear substitution,then is the full essential ()0fgcondition of ()()rfgnTheroem2 Let , If are coprime. xPfi.,21miL)(,)(,21xffxmLis on number field P a n Uygur
4、 linear space V linear substitution.Then .)()1()11 immii frfrKey words: rank of matrix; matrix polynomial;linear transformation引言与主要结果在近几年的一些重点院校数学专业研究生入学考试中，经常出现下列一类试题：1设 是数域 上 维线性空间 上的一个线性变换，用 表示 上的恒PnVV等变换，证明 .（北京大学3 2()()rakrankn2005）2设 是 阶矩阵， 是 阶单位阵，证明： 的充分必要条件是AnE2AE其中 表示矩阵 的秩.（重庆大学 2001）()().
5、rankErak()rA3.设 是 阶矩阵， ，证明12|0,|()0nnWxRWxRx为幂等矩阵当且仅当 . （华中科技大学 2004）A2n4设 是 阶矩阵，证明： 的充分必要条件是34AE. （四川大学 2000）()()rrn以上命题中必要性的证明相对容易一些，充分性的证明在目前国内流行的两种版本（北大版与北师大版）的高等代数教材中没有涉及到，考生往往感到无从下手。对于这类问题的讨论，在高等代数教科书上，也只是在习题中出现过以下结论：结论 1设 阶矩阵 满足 ，则 .nA2()rAEn结论 2设 阶矩阵 满足 ，则 .(r实际上结论 1、结论 2 的逆命题也成立，它们刻画了幂等矩阵与对
6、合阵的秩特征，但对其逆命题及证明问题，一般很少有资料或文献所涉及.本文将对以上结果进行推广，得到一个更一般的定理，并将该结论应用于线性变换或矩阵多项式，较简单的获得现行文献18中许多结果.本文的主要结果是：定理 1设 ， ， 是数域 上 维线性空间 的(),fxgPX(,)1fgPnV一个线性变换，则 的充分必要条件是 .0()()rfg定理 2 设 ， ， 是数域 上 维线性空间(),fxx(),fx上一个线性变换，则V.()()()rfgnrfg定理 3 设 两两互素， 是数域 上 维线性空间 的一123,xxPnV个线性变换，则.123213()()()()rfrfrff定理 4设 ，
7、， 两两互素，ixP1,imL1,mxxL是数域 上 维线性空间 的一个线性变换.则nV.1 1()()()mi iirfnrf 本文中用 表示单位矩阵， 表示线性空间的恒等变换， 表示线性变换Eker()的核， 表示线性变换 的象， 表示 .I ()rdim(I)引理及定理证明引理 1设 ， ， 是数域 上 维线性空间 的(),fxgPX(,)1fgPnV一个线性变换，则 .ker)kerer()证明因为 ，所以存在 ，使得(),1fx),uxv，()(1ufg则 ，这里 是线性空间 的恒等变换.()()ufvgV设 ，下证 ：hfker()r()ker()hfg设 ，则 ，由上式得ker(
8、)()0.()()ufv记 ， ，则 . 1()uf2()vg12由 ，得 ，同理得到()()0gfhker()g，故 ，即得2kerfkerrker()hfg又易知 ， ，故ker()r()fhker()r()gh，于是fg.er()er()ker()ffg再证 ： ，则ker()0fII，()f()0那么 ，即 ，所以()()ufvgker()r()0fgI.ker()r()f定理的证明由引理 1 得到：.ker()ker()er()fgfg于是 ()0r()kr()fVf.dimker()diefgn(必要性)若 ，则()fgr()imer()f注意到:与diker()()fnrfmgg
9、即得.()()rfn(充分性)若 ，则 ，于是()rfgker()er()Vfg.()0f在文献7中，对矩阵秩的一个重要不等式 ，给出()()rABrn了它取等号的一个充分必要条件，即下面的引理 2，借助该引理，我们可以把定理1 推广成一个更一般的结果（前文的定理 2）：引理 27设 、 分别为 和 矩阵，则 的ABmn()()rABrn充分必要条件为存在矩阵 、 ，使得XY.ABE定理 2 的证明设 为 的一组基， 在该基下的矩阵为 ，则 、 在1,nLVA()fg该基下的矩阵分别为 、 ，而且()fAg、 及()rf()()r()()rfgrfA因为 ，所以存在 ，使得,1xg,uxv，(
10、)()1fgx则 ，由引理 2，得()()uAfvAE()()()rfArfn于是.()()()rfgnrfg推论 1 设 ， ， ，则(),fxgPx,1fxnAP.()()()rfArf推论 2 设 两两互素， ，则123,fxxn.213()()()()rrfrfAf定理 3 的证明因为 ， ，由定理 2，得13(),(fx23(),(fx， ，13rf1)rfrn23)(rf3()()rfrfn所以- = -13()rf1()rf23()(rf2()rf即得+ = )+ .1()rf23()(rf2()rf13()rf定理 4 的证明对 作归纳： 时由定理 2 即知结论成立，假设结论对
11、 成立.由于m m1(),fx两两互素，令 ，则 与 也互素，2()mfL121()()()mxfxfL()x()mf由归纳法假设，得 1()()miirxrfxn于是由定理 2 及上式，得 1()()()()mi mmrfrxfrxfn 1()2)()iifnf.1()1)miirfx结果应用下面将利用我们的结果（定理 1-定理 4） ，把国内近期一些文献中许多结果统一起来，重新给出其推导，其方法较相关文献更简单，某些结果较原结论更优.为行文方便，下面的一些结论以命题形式给出：命题 1设 ， ， ，则(),fxgPx(),1fgxnAP的充分必要条件是()0fAg.()()rfAn证明由推论
12、 1 即得.注在本命题的相同条件下，文献2仅得到： ()0fg()()rfgAn我们通过命题 1 把它推广成一个充分必要条件.命题 2 设 ， ， 两两互素，()ifxP1,2imL12(),.,()mfxfx，且 ，则nAP12()()0mfAfL.1(1)iirfAn证明把定理 4 关于线性变换的结果转化为矩阵的相应结果，得到 1 1()()()mmi iirfnrfA 并注意到 ，于是有 ，推论 3 得证.12()()0mfAfL1()()iifn注本结果比文献2中定理 3 的相应结论1()()2miinrfn更为精确.命题 3设 是 阶方阵， 是 的特征多项式或最小多项式，而A()fA
13、12,是矩阵 的所有互不相同的特征值，,sL，则12()()()skkkfL.12()(1)skrAErrAEnL证明记 ， ，则 ，而1()ikif,s2()sfffL且 两两互素，若 是 的特征多项式或最小多项式，由12(),sfL()f哈密尔顿定理或最小多项式定义，得 ，于是由命12()0sAffA题 2 得.11()()()isskii irfrEsn注本结果比文献2中问题 3 的相应结论1()(1)2siinrfsn更为精确.命题 41 设 皆为自然数， 对任意 ，有,kstnAP （1）1()()tkstkstrArA特别当 时有2kst（2）223()()()rrr证明注意到 ，
14、 ，由定理 2 或推论 1，则1,tkstx1,kstx有如下等式 1()tksrA1()tkstrEA 1()tkstrEAnstst st即得- = - ，1()tksrA(tr)kstA(r亦即.1()()tkstkstrr特别当 时有 .2kst2223()ArA注在文献1中，作者是先利用 Schur 补给出矩阵秩的一个基本关系式： ()()rICDBrIBCDA然后结合矩阵广义逆的性质获得（1）与（2）的，本文方法更显初等、简单一些.命题 51设 ，则 为三幂等阵（即 ）的充分必要条件是nAP3A.（3）22()()rAr证明因为 是两两互素，根据定理 2 及定理 4，有,1x（4）()()rErn（5）2AA（6）3()()()rrrA由（4） 、 （5） 、 （6）得（7）322()()()rArAr故.333()0ArA注文献1得到矩阵秩关系式 是 为三幂等阵22()()rA的一个必要条件，文献
