数学论文-幂零矩阵迹的特征

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1、幂零矩阵迹的特征（孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 ）摘 要：2009 年全国大学生数学竞赛题（第 3 题）：设 是复数域上向量空间，V是 上的线性变换，且满足 ，那么 的所有特征值均为 0，并,fgVfgff且 和 之间存在相同的特征向量（对应的特征值不一定相等） 我们把它转换为矩阵，在矩阵中讨论特殊情况即 ，求证 和 有公共特征向量，并ABAB且求出 和 的公共特征向量.AB关键词： 幂零矩阵；迹；特征值；特征向量Features of Nilpotent matrix trace YAN Wen(Department of Mathematics and Statistics,Xia

2、ogan university,Xiaogan,Hubei ,China)Abstract：2009 National College Mathematics Competition Problems (3th item)： Based vector space V is the complex field, are the linear transformation, and ,fgsatisfies , Then all the eigenvalues of are 0, Between and there fgf fgare the same feature vector (not ne

3、cessarily equal the corresponding eigenvalue). We convert it to matrix and discussed in the special circumstances that , Verify:BAand have public feature vectors, and eigenvectors obtained the public.ABKey words：Nilpotent matrix; Trace;Eigenvalue;Eigenvector.1 引言在 2009 年举行的全国大学生数学竞赛中，有这样一道试题：例 1 假设

4、是复数域上 维线性空间（ ） ， 是 上的线性变Vn0n,fgV换如果 ，证明 的所有特征值都是 0，且 有公共特征向fgff量 （2009 年全国大学生数学竞赛试题）在 2002 年的苏州大学研究生入学考试中也有类似的试题：例 2 设 是有理数域 上的向量空间， 是 上的线性变换，其中VQ,fgV可对角化，且满足 ，证明存在正整数 ，使得 是零变换 （2002gfgfkkf年苏州大学研究生试题） 由于 的所有特征值都是 0 是幂零矩阵，易知例 1 与例 2 本质上是属f f于同一问题在全国大学生数学竞赛组委会为例 1 提供的解答中，通过构造一些复杂的生成子空间，证明它们在线性变换 下不变，最

5、后利用 的迹为ffg零的结果，间接导出 的任意特征值为 0，整个证明复杂繁琐而例 2 中条件f“ 可对角化”过强，能否在例 1 的条件下直接证明 是幂零矩阵呢？g f另外，对例 1 中关于 有公共特征向量的问题，一个熟知的结论是,fg命题 11若 是复数域上 维线性空间 上的线性变换，且 ，,fnVfg则 和 存在公共的特征向量gf尔后由 Laffey 与 Choi 在 1978-1981 年将之推广为 命题 22,3若 都是复数域上的 阶方阵，满足 ，则,ABnrank()1AB和 存在公共的特征向量AB对于命题 2 的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另

6、一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的 4.从以上诸例及相关结论上看，对线性变换 而言，关于 的性,fghfg质的讨论有重要的意义.在有限维线性空间中，可以把问题转化为对矩阵的讨论.AB本文将讨论与解决如下问题：1、关于矩阵 或线性变换 的性质；ABfg2、对满足 或 的线性变换 ，不仅证明 之间存在fgf,f,fg公共的特征向量，而且求出所有的公共特征向量；3、某些逆命题.2 性质设 为 阶矩阵，令 ，则 具有如下基本性质：,ABnCABBA性质 1 .tr

7、()0证明 设 、 ，则 ，ija(ijb1tr()nikiab.111tr()()trnnnjt tj ikjtt iBAbAB性质 2 对任何 阶矩阵 ， .,ABE证明 反证法 假设 ，则由性质 1 可知 ，()0trAB显然矛盾，所以 .命题得证.E性质 3 设 ， 是 阶矩阵，令 ，且 同 ， 可交换，求ABnCABC证：存在整数 使 .m0C证明 因为 同 ， 可交换即 ，所以有,AB,即 与 可交换.同理可证 （2 2()()CAACkC）与 可交换， （ ）与 可交换. 下证 （1,.knk1.nB0tr）.2()()(0trCABtrtBA2() )()()0trCABtCr

8、tCtrBA同理可证： .下证 的所有特征值为零.0,12ktrn设 的所有特征值为 ，所以 的所有特征值为 .下面k knk,21证明 都为零.n,21由 ， 可得：0ktrC.， 设 的不为零的特征值分别为 ，且分别为 重.则上式n.,2112,rs可写成： 212120.0rkkkrs令 ，所以上式可写成 .而由范德蒙行列式12212.rrrL120.rLs可知 ，又 的特征值 互不相等，所以1.()nijijCn.,21，所以上式只有零解，所以 的特征值全为零.0L若 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在 使 .命C m0C题得证.注：对于 中的线性变换 ，令 ，则有xPB

9、A, )(),( xfBfxff（ 为恒等变换）. 13eBA122120.nkkn3 可换矩阵的公共特征向量命题 1 若 ，且 ，则 与 一定存在公共的特征向量.,nABCAB证明 因为 ，则 在复数域上一定存在特征值，取 的任一个特征A值 ，考虑 的特征子空间nVA设 ，则 ，设 为 的一组基，则 ，于是有dimVk012,kLiV， .iiA1,2L在下面的证明中，我们将证明存在 的属于 的一个特征向量 ，使 也是A的一个特征向量，即存在某数 使 成立，从而 为 与 的公共特BBAB征向量.由于 为 的一组基，设12,kLV（1）12kccL由 ，则 ，即得 ， .iiA()()()()

10、iiiiBABiBV,2ikL则有 ， ，使得ijlC,2,jkL12112212kkkkllBllL下步将寻找不全为零的 ，使（1）成立，并且使 为 与 的公共特12,cLAB征向量. 12()kBc12kBccL1()kcllllL11()k kcc而 12()k kc由 及 线性无关，得B12,kL（2）12112212kkkklclcllL即，111kkkkllcllKMOML记 ，即得ijkLl，11kkcL也即 （3）10kcM当 时，上式有非 0 解，此式说明 是 的特征值.命题 1 证毕.0LL命题 1 证明了 与 有公共的特征向量，通过定理 1 的证明，我们还看出，AB对于

11、的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在 的特征向B量.于是有推论：推论 1 若复方阵 满足 ，且 有 个互不相同的特征值，则,ABr与 至少有 个线性无关的公共特征向量.ABr证明 设 是 的 个互不相同的特征值，按照定理 1 的证明，在12,rL的每个特征子空间 中都存在 的特征向量 ， ，而属于不同特iVBi,2rL征值的特征向量必线性无关，得 是 与 的 个线性无关的公共特征12,rLAB向量.推论 2 若 阶复方阵 满足 ，且 有 个互不相同的特征值，n,ABn则存在可逆矩阵 ，使得 与 都是对角矩阵. P11P证明 由推论 1 知 与 有 个线性无关的公共特征向量 ，作

12、矩ABn12,nL阵 ，则 与 都是对角矩阵.12(,)nPL1P1下面，我们通过例子说明如何用定理 1 中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量.例 1 求可换矩阵 所有的公共特征向量.,AB， 3012120B解 容易验证 ， 的特征多项式为AB.23011()32E所以， .123对 ，由 ，得123200x， ，1x231x从而基础解系为，102而 ，定理 1 中的 为 矩阵，于是1 1201B1L，于是公共特征向量为，1102c其中 为任一不为零的常数1c对 ，由 ，得231230102x，13x从而基础解系为， ，1021而，1 12210B，2 1210由命题 1 可知 ， ，从而有

13、1L20L，(3)对 ， ，得0120c，21c于是公共特征向量为，即 ，12()c1c其中 为任意不为零的常数.1c对 ， ，得3120c，12c于是公共特征向量为，即 ，212()c2c其中 为任意不为零的常数.2c于是所有公共特征向量的形式为：， ，02kk2k为任意不为零的常数.k4 逆命题 设 为 阶矩阵，且 ，则必存在 阶矩阵 与 ，使Cntr0CnABAB证明 若 ，则 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参tr0考文献12定理 1 的证明，在此略.下证必存在 阶矩阵 与 ，使nC分两种情况讨论：（1）若 是主对角元全是零的方阵，即 ， ， .取C()ijc0i1,2inL

14、12nAO两两互异.取 ，其中 （ ） ，而12,nLijBbijijcj任意，可验证 .ib(,)AC（2）对任何 的 阶矩阵 ，由引理存在可逆阵 ，使 为一个tr0CnP1C主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在 阶矩阵 与 ，使n1AB11ABPC于是，有 ，令 ， ，11()()PA 11PB则 .命题得证.ABC5 一个反例命题 1 中对复数域的要求是必需的，而在文献2中 P261 却有如下一道习题：习题 2 设矩阵 与 可交换，试证：如果 有特征向量，则 一定有ABA,AB公共特征向量.在文献3中对该习题作出了如下解答：解 3 设 是两个可交换的矩阵，系数在数域 中，并设其阶数为 ., Pn可看成 维线性空间 的线性变换 在基,ABnnP,AB12(0,)(0,1),LL下的矩阵，从 可交换可推出 可交换.如果 有特征向量，,n ,A则 有特征值 .在 对于 的特征子空间中， 有公共特征向量 ， 也A0A0AB是矩阵 的公共特征向量.,B上述结论不真.事实上，在实数域 上，取 ，令 是在实数域 没有RER特征