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1、2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 中国计量学院现代科技学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陈彬彬 2. 杨婷婷 3. 毛荣礼 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模组 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究摘要储油罐作为加油站常用的储存容
3、器，常常需要测量储罐内油液的容积，对油品不同液面高度时的储油量进行精确的计量，对于过程控制和生产考核、库存管理以及贸易结算都有十分重要的意义。本文深入分析了卧式储油罐在纵向倾斜和横向偏转两种状态下，罐内的油位高度与储油量之间的对应关系。对于问题（一） ，主要讨论了两端平头的椭圆柱体储油罐在无变位与纵向倾斜时罐内油位高度与储油量的对应关系。首先，通过对无任何变位时卧式椭圆柱体的o1.4积分求出储油量的体积与油位高度之间的函数关系，即模型一；其次，讨论罐体纵向倾斜 时的情况，当油位高度小于等于 147 毫米时，在该区段内所截取的截面为直角.三角形，通过积分可得储油量容积；当油位高度大于 147 毫
4、米时，在该区段内所截取的截面为梯形，按高度方向和椭圆柱体长度方向进行双重积分后得到储油量关于油位高度的函数，即模型二。基于求得的函数关系式，通过计算同一高度下无变位和变位后罐内储油量的差值来反映罐体变位对罐容表的影响，同时我们给出间隔 1 的罐容cm表标定值。对于问题（二）：考虑罐体同时发生纵向倾斜和横向偏转，我们将罐体的变位分解成两个独立的过程。首先，考虑单一的纵向倾斜或横向偏转，当罐体发生纵向倾斜变位时，油位高度与储油量的对应关系类似与问题一的求解，通过积分得到储油量关于油位高度的函数关系式；当罐体发生横向偏转变位时，相同油量在罐体内储油的竖直高度不发生变化，而此时会改变测量的油位高度。在
5、模型三的建立过程中，由于我们建立的是储油量与竖直油位高度的模型，因此在罐体发生横向偏转时，把竖直油位高度和实测油位高度进行转化，其次对球缺部分的体积做近似处理后积分，同样对罐身部分的体积双重积分，此时得到模型三。利用罐体变位后在进出过程中的实际检测数据代入模型三，来确定变位参数得到 。接着用部分实际检测的高度oo3.2,8.1以及变位参数代入模型三，求得的理论数据与实际检测比较，得到误差较小，说明我们建立的模型可靠性好。误差修改部分：模型一中，我们通过分析理论值和实测值知道误差是呈线性关系的，对误差与油位高度做线性拟合，将理论值减去拟合所得的差值，此时的数据较能符合实验采集的数据。 模型二中，
6、计算出的理论值与实测值在两端时差距较小，而中间部分的差距较大，为减少误差，对理论值与实际值的误差做二项式拟合，将理论值减去拟合所得的差值，此时的数据较能符合实验采集的数据。关键词：变位识别；罐容表标定；储油罐； 2一、问题提出与重述1.1 问题的提出椭圆形封头卧式储罐在生活中有着广泛的应用,例如在化工、医药、石油等行业的生产过程中,使用着大量此类卧式容器,用以储存物料。由于有些被储存物质如LPG等具有很强的气化性,随时了解和控制容器中物料储量的变化以及储罐储液体积的计算，对于合理管理储存物，保证容器安全运行十分重要。1.2 问题的重述加油站通常有储存燃油的地下储油罐和与之相配套的“油位计量管理
7、系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。由于地基变形等原因，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。题中给出了一种典型的储油罐尺寸及形状，其主体为圆柱体，两端为球冠体，以及罐体纵向倾斜变位图和罐体横向偏转变位的截面图。要求用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题：问题一：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.1纵向倾
8、斜两种情况做了实验，实验数据如附表1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二：对于给出的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附表2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析2.1 问题背景的理解所谓椭圆柱型卧式油罐容积的计算问题, 就是如何根据盛油高度确定罐内的
9、盛油容积。根据盛油高度, 用积分的计算方法, 分别求出罐身及凸头的盛油容积,对形状各异的椭圆柱型卧式油罐,采用不同的被积函数来得到油罐容积。(一) 问题一的分析本题要求掌握罐体变位对罐容表的影响。此处的储油罐是一个两端平头的卧式椭圆柱体。首先我们考虑在无变位情况下，获得储油量与油位高度的对应关系，此时的储油罐内部剖析图如图 1 所示：Hh hVH图 1：无变位时罐内剖析图3其次，我们考虑罐体发生纵向倾斜 时的储油量与油位高度的关系，由数据o1.4我们知道同一油位高度下，罐体的储油量不等于无变位时的储油量，需要根据此时罐内油液的情况（见图 2）进行具体求解。H油 位 探 针 HV水 平 线 z图
10、 2：纵向倾斜时罐内剖析图油位高度为 时，油容积为 ，当油位高度增加 时，油容积增加 ，可以把HVhhV看成许多 叠加在一起，当 较小时，可以把 看成是一个长方体。把所有的 叠HVhhV加在一起，把对应的 叠加在一起就可得到油容量与油位高度的关系。h从图 2 可以看出，沿着 轴的方向，油位高度发生了变化，因此考虑沿 轴的方向z z将储油罐均分为许多小段，使每一小段内的高度近似相同，通过累加就可得到油容量与高度的关系。最后比较同一高度下无变位与变位储油量的差异，便可得出罐体变位后对罐容量的影响。(二) 问题二的分析本题要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数之间的
11、一般关系。此处的储油罐是一个两头有球缺的圆柱体。对于该问题我们先考虑单独的纵向和横向倾斜角对储油量的影响，然后综合考虑纵向倾斜和横向偏转对储油量的影响。纵向倾斜对罐容量的影响：类似与问题一种的变位，只是储油罐是圆柱体而非椭圆柱体，因此只需在问题一的基础上加上两端的容积，同样采用累加法，求出油容量与油面高度的关系。横向偏转对罐容量的影响：由于储油罐是一个圆柱体，两端为球缺，储油罐横向偏转后，油面高度的实质上不发生改变，只是油位探针有垂直变为了倾斜，因此只需找出偏转前后油位的高度的关系就可得出偏转后对罐容量的影响，最后对两者进行综合。三、模型假设（1）罐容器壁厚是均匀的，且忽略不计；（2）燃油的密
12、度不受外界环境的影响如温度等；（3）油位探针固定在探测装置上，在储油罐中的相对位置不变。 四、 变量与符号说明：燃油的体积（单位：升） ；V：显示的油面高度的（单位：分米） ；H4：椭圆的长半轴（单位：分米） ；a：椭圆的短半轴（单位：分米） ；b：卧式椭圆柱体的长度（单位：分米） ；L：纵向倾斜角（单位：度） ；：横向倾斜角（单位：度） ；五、模型的建立与求解5.1 问题一的求解该小题主要分为三个部分：（1）罐体无变位时油位高度与储油量的对应关系；（2）发生 纵向倾斜时油位高度与储油量的对应关系；（3）分析罐体变位后对o.4罐容表的影响以及油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。为了掌握罐体
13、变位对罐容表的影响，利用如图 3 的小椭圆型储油罐，两端平头的椭圆柱体做研究。5.1.1 模型一 罐体无变位时油位高度与储油量函数关系设椭圆柱型卧式油罐的罐身长为 , 横截面上椭圆的长半轴是 ,短半轴是 (图4)Lab那么罐身的全容积：(1)abV身若在罐身的横截面上,建立如图2示的直角坐标系, 可知椭圆的方程:(2)12byax由此得：(3) 当盛油高度是 时, 罐身的盛油容积： 图 4：罐身横截面示意图H2)(2)1()arcsin( )()(arcsiarcsin2 2222 bHbHbL aLLbbbyydyLV bHhb(4)hHaaboyddys)(b) 小椭圆油罐截面示意图 油油
14、浮子出油管油位探针 注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小椭圆油罐正面示意图图 3 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图55.1.2 模型二 罐体纵向倾斜 时油位高度与储油量函数关系o1.4（1）当罐内油位高度满足 时，在该区段内所截取的截面为直tanLtH角三角形，如图 5 所示：此时的油面高为：(5)tan1ACD中心直角三角形的高为：(6)41y经过 点且垂 轴的直线方程为： (7)Eby12面积为： (8) 图5 ：三角形截面tan/2S由椭圆方程可得出： (9) 2bxy此时油位的高度较低，这里取 (10) 2-a下截面面积中的 (11)24tHxbny下下面
15、我们来确定积分界值，由椭圆方程可知： (12)2yba积 分 界 值则所求体积为：(13) xaxaxbyxdxyVx 232222021 )rcsin(tan1t（2）当 ，通过对两边是平头的椭圆形罐体横截面的剖析知时t4tHL道：，储油罐为梯形，其截面示意图如图 6 所示：y 轴z 轴x 轴dzH5.204Hzy(a) 储油罐截面示意图一 (b)储油罐截面示意图二图 6 储油罐截面示意图鉴于储油罐截面的示意图，对储油罐按 进行积分，将每一小段内的高度近似得dz等于 ，那么在每一小段内溶液的体积等于高为 的圆柱体的体积。zHzH从图中我们可得到： ， (14)tan5.200Htan0该油位高度下： (15
