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1、- 1 -DVD 在线租赁分析摘要本文针对 DVD 在线租赁的运营方式和运营特点，引入了信号与系统学中的一些分析方法，将它们与线性规划法有机地结合起来，全面考虑了 DVD 在网站与会员间流通的整个过程；在此基础上建立的模型，应用于 DVD 的需求预测、购买和分配方案的制定，其合理性和实用性都很好。针对问题一第一问“保证希望看到某 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该DVD”的要求和第二问“保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD”的要求，我们通过对 1000 个会员的问卷调查结果的分析和计算，得出了 5 种 DVD 在不同条件下所需的最小张数。在分析过程中，我们使用了信号
2、与系统学中信号流图的分析方法，简化了分析过程，以此为基础建立并求解了线性规划模型，得到了所要求的数据。对于此模型，我们所用到的知识并不复杂，计算量也不是很大，结果准确可靠，具有实际指导意义针对问题二中“设计一个 DVD 发放分配方案，使会员获得最大的满意度”的要求，我们分析了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，定义了会员满意度的概念。会员满意度与题中给出的会员对某种 DVD 的偏爱程度一一对应，有效的量化了会员对某种 DVD 的偏爱程度。我们根据会员满意度的定义，建立了 0-1 整数规划模型，并编程求解，求出的会员平均满意度与会员最大可能满意度
3、的比值达 95.65%， 。在求解过程中，我们发现了 lingo 软件经常读取文件失败的原因，并用 C 语言编程处理，将题中给出的 1000*100 数据矩阵转换为 1*的数据矩阵，成功实现了 lingo 软件一次性对个数据的读取和处理，简化了计算过程，保证了对 DVD 分配方案的整体优化，提高了计算的准确性和可靠性。针对问题三中“设计 DVD 购买和分配方案，使一个月内 95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大”的要求，我们综合考虑了 DVD 购买总数与会员总满意度之间的关系，定义了变量经营者满意度，只用一个变量就清晰准确地说明了 DVD 购买总数与会员总满意度之间的关系，体现了数学简
4、洁的美感。根据经营者满意度的定义，我们建立了改进后的 0-1 整数规划模型，并编程求解，得到了 DVD 购买与分配的优化方案。针对问题四中“提出在 DVD 的需求预测、购买和分配中值得重视的问题，并尝试建立相应的数学模型”的要求，我们结合信号与系统学中状态方程的分析方法，对网站资金流通中的四个参数建立了差分方程，提供了分析网站资金流通情况的有效方法。- 2 -1问题的提出1.1 基本情况随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸
5、多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。1.2 相关信息在线 DVD 租赁服务。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担） ，就可以继续下次租赁。1.
6、3 需要解决的问题结合在线 DVD 租赁服务的信息，考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据） 。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD呢？2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的
7、1000 位会员的在线订单（表 2 的数据格式示例如下表 2，具体数据请见附件） ，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。表 1 对
8、 1000 个会员调查的部分结果DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5愿意观看的人数 200 100 50 25 10表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD 编号 D001 D002 D003 D004 DVD 现有数量 10 40 15 20 C0001 6 0 0 0 C0002 0 0 0 0 C0003 0 0 0 3 C0004 0 0 0 0 会员在线订单 - 3 -注：D001D100 表示 100 种 DVD, C0001C1000 表示 1000 个会员, 会员的在线订单用数字 1,2,表示，数字越小表示会员的偏
9、爱程度越高，数字 0 表示对应的 DVD 当前不在会员的在线订单中。2.问题的分析DVD 在线租赁是一种新兴的网络经济形式，它充分发挥了网络的诸多优势，具有很光明的发展前景。为了更好的发展网络经济，完善 DVD 在线租赁业务的运营模式，我们对 DVD 的需求预测、购买和分配中的若干重要问题进行了分析和研究。本题目要求我们根据对 1000 个会员的问卷调查结果和当前需要处理的 1000 位会员的在线订单，设计一个合理的 DVD 分配方案，使会员尽量得到他想看的 DVD，并且满意度最大。同时，题目要求我们对 DVD 的需求预测、购买和分配中的重要问题进行研究，提出观点，并建立相应的数学模型。为使我
10、们的模型尽可能地贴近现实，具有实用性和建设性，我们首先正确统计出会员的租片意愿、会员对不同 DVD 的偏爱程度、会员的租赁时间、网站里各种 DVD 的现有数量等信息，尽可能发现他们之间的联系。大量合理的假设也是本题的关键，它保证了我们建立的数学模型是现实可行的。同时，为了便于分析和计算，我们还引入了信号与系统学中的一些概念和分析方法，为我们构建和完善数学模型起到了重要的作用。3.信号与系统学中一些概念的引入3.1 信号流图的基本概念信号流图（signal flow graphs）是一种常见的线形系统的表示与分析方法。这种方法由美国麻省理工学院的梅森于 20 世纪 50 年代首先提出。此后在线性
11、系统分析、线性方程组求解等方面得到广泛应用。 1 信号流图方法的主要优点是：系统模型的表示简明清楚，系统的计算过程明显简化。3.2 信号流图的表示方法系统的信号流图用结点和支路来描述系统。结点是表示系统中变量或信号的点，结点可以有很多信号输入，并且可以向不同方向输出。支路是一段有始有终的有向线段。线段表示信号传输的路径，线段上的箭头表示信号的传输方向。信号传输的增益标注在箭头附近，每一条支路相当于乘法器。3.3 信号流图的性质1.支路表示一个信号与另一信号的线性函数关系，信号只能沿着支路上箭头方向通过。2.结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。3对于同一个系统，信号
12、流图形式并不是唯一的。同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。3.4 状态变量分析法的基本概念状态变量分析法是利用状态变量来描述系统内部特性的分析方法，适用于描述复- 4 -杂的多输入-多输出系统。 2下面给出状态变量分析法中的几个名词定义。状态 对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量） ，只要知道 时这组变量和 时的输入，那么就能完全确定系统在任何 的行为。状态变量 能够表示系统状态的那些变量称为状态变量。状态矢量 能够完全描述一个系统行为的 个状态变量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。状态空间 状态矢量 所在的空间。状态轨迹 在状态空间中状态矢量端
13、点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。如果一个系统需要 个状态变量来描述，则状态矢量就是 维的矢量，对应的状态空间就是 维空间。3.5 离散时间系统状态方程的基本概念对于一个动态的时域离散系统，它的数学模型是用各阶差分方程形式描述的。作为离散系统的状态方程表现为一阶差分联立方程组的形式，即状态方程输出方程其中： 为系统的状态变量；为系统的 m 个输入信号；为系统的 r 个输出信号。如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即- 5 -状态方 程输出方程表示成矢量方程形式其中- 6 -观察离散系统的状态方程可以看出：（n+1）时刻的状态变量是时刻状态变量和输入
14、信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常取延时单元的输出。离散时间系统状态变量描述的结构图如图 1 所示。图中，1/E 是延时单元，它的输入为 ，输出是 。若 A，B，C，D 矩阵是 n 的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，A，B，C，D 各元素都为常数，不随 n 改变。图 1 离散时间系统状态变量描述的结构图4.模型假设与约定4.1 总体假设对 1000 个会员的问卷调查结果、当前需要处理的 1000 位会员的在线订单、会员对各种 DVD 的偏爱程度、网站拥有的 100 种 DVD 的现有数量等数据真实可信4.2 具体假设与约定1.假设会员不会租已经看过的
15、 DVD，即会员不会重复租同一张 DVD。2.假设会员在收到 DVD 后一个月内要将 DVD 寄还网站，即每张 DVD 的租赁时间最长不超过一个月。- 7 -3.假设网站每月向会员发放 DVD 的时间相对集中，即网站每月分两次定时向会员发放DVD。4.假设 DVD 发放和寄还的时间很短，在建立模型时可以不用考虑。5.假设会员在一个月内至少向网站租借 DVD 一次，且会员在一个月内至多向网站租借DVD 两次。这里的一个月定义为一个约 30 天的时间长度，与日历月份无关。6.假设网站租给会员的 DVD 必须等会员寄还后，才能再租给其他会员。7.假设会员在某次向网站租借 DVD 后，将保存 DVD
16、直到下一次向网站租借前。例如，会员甲在某段时间网站第 N 次发放 DVD 时，向网站租借了 DVD1；如果他想在一个月内第二次向网站租借 DVD，则他将在网站第 N+1 次发放 DVD 前寄还上次所借的DVD1；如果他不想在一个月内第二次向网站租借 DVD，则他将保存 DVD1 直到网站第N+2 次发放 DVD 时再寄还。8.假设 10 万个会员中愿意观看某种 DVD 的人数比例与 1000 个受问卷调查的会员中愿意观看某种 DVD 的人数比例相同。9.假设 DVD 在“发放寄还再发放”的流通过程中，不会出现损坏、未归还等数量减少的情况。即在由网站、流通渠道、会员组成的 DVD 流通系统中，参与流通的 DVD 的总数是一定的。5.模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 对数据的分析通过对 1000 个会员的问卷调查，我们得到了愿意观看 5 种 DVD 的人数的数据如表3 所示：表 3 对 1000 个会员调查的部分结果DVD 名称 DVD1 DVD
