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1、高一阶段函数与方程思想的渗透 游 娟 (淮阴师范学院附属中学，江苏淮安223001) 摘 要：数学思想是数学活动的指导思想数学活动的 一般概括它从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认 识数学的本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻 解题的方向和途径函数是高中数学的主线它用联系和运 动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依 存关系函数思想以函数知识做基石用运动变化的观点分析 和研究数学对象间的数量关系丰富并优化数学解题活动 关键词：函数思想 方程思想 函数与方程思想 高一 数学教学 高中阶段的数学用到的基本思想有：函数与方程思想分 类讨论思想，转化与化归思想数形结合思想而
2、其中的函数 与方程思想是每年高考的热点之一高中阶段第一次出现在 苏教版必修一的第三章所以深入研究函数与方程思想对学 好数学起非常大的作用 函数思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思 想。分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关 系，再运用函数的图像和性质分析问题达到转化问题的目 的，从而使问题获得解决的思想；方程思想就是从问题的 数量关系人手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模 型方程或方程组，通过解方程或方程组。或者运用方程的 性质去分析、转化问题使问题获得解决的思想 函数与方程是密不可分的，函数y=f(x)中的f(x)如果为0， 就可以转化为方程f(x)=0函数与方程思
3、想就是把函数问题转 化为方程问题，例如求函数的零点可以转化为求对应方程的 根，或者把方程问题转化为函数问题来解决例如求方程的根 的个数可以转化为求两函数交点的个数苏教版必修一的第 三章引入的函数与方程思想。主要体现在求方程f(x)=O的实 数根，就是确定函数y=f(x)的图像与X轴交点的横坐标。即函数 y=f(x)的零点；求f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y=f(x) 与y=g(x)图像的交点或交点个数 一、函数思想 所谓函数思想，就是在根据已知条件构造函数。通过研究 函数的单调性、奇偶性等性质解决问题的思想 1构造函数，利用函数的性质答题 1 1 例1：(1)比较大小：lg15；l
4、g6；6 。8 ；(2)证明方程x2 =1至 少有一个小于l的正实根 分析：(1)分别构造函数y=lgX和y=x ，利用其单调性比较 大小；(2)构造函数f(x)=x2x_1，验证f(O)f(1)的符号即可 解：(1)构造函数y=lgx，其在(0，+。)内是单调增函数，因 为156，所1)Mgl5lg6；构造函数y=x，其在(O，+ )内是单调增 函数，因为68，所以6“8“；(2)令f(x)=x2-l，则f(x)的图像 在R上是一条连续不间断的曲线所以。f(O)=Ox2-110所以f(O)f(1)0由题意得，方程t+at+3=0有正根。 fA0 2 所以XI+x2=一a0Nl la-4x30
5、，所以a一2X3 1xx =30 al，若对任意的XE啦a，都有 Ya 满足方程l。 +1ogy=3，此时a的取值集合为 分析：本题看上去是考查含参数的方程实际上是以含参 数方程为载体，考查函数的定义域、值域及函数思想所以解 60 这道题目的基本思路：方程问题函数化由方程。可qxy=a (x 0，y0)，把x看成自变量，v看成应变量，可以得到函数v=a x在 区间a，2a上单调递减，所以函数v=a x在区间a，2a上的值域 是a，2a，由题意a2，a a，2a，所以aa221 函数与方程的思想是高考的热点，也是学生学习的难点， 很多学生拿到类似的题目无从下手，不会变通，所以在上必修 一函数与方程这一节时教师要充分利用函数的零点及二分 法的有关内容不断强调，向学生灌输如果从函数无从下手，就 变成方程，如果方程不会解，就通过函数解决的思想，进而深 化数形结合的数学思想，通过不断练习，不同的变式训练强 化学生的记忆与理解只有这样，才能让学生在高考巾能自然 地运用函数方程思想，而不是生搬硬套 学习函数方程的思想不是一两节就能掌握的，需要通过 长时间的努力渗透，包括以后学的三角函数、数列、不等式，都 运用到了这一思想。高一的基础是非常重要的，所以也要求教 师一定要在高一让学生弄懂并会运用这一思想
