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1、第 6 章 求矩阵特征值与特征向量 第 16讲 乘幂法和逆幂法一、 乘幂法的基本思想乘幂法是求实方阵 A 按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量 ，然后作迭代序列 再根据 增大时， 各分量的变化规律，求出方阵 A 的按模最大的特征值及相应的特征向量。先看一个实例例 1. 设矩阵用特征方程容易求得 的两个特征值为下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量 ，计算向量序列具体计算列表如下：考虑两个相邻向量相应分量之比：由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值，随着 的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵 A 的按模最大的特征值。二、乘幂法的计算公式 设
2、矩阵 A的 n 个特征值按模的大小排列为： 1 2 n其相应的特征向量为e 1, e2, en且它们是线性无关的。先任取非零初始向量 ，作迭代序列首先将 表示为所以 为了得出计算 和 的公式，下面分三种情况讨论1. 1为实根，且 1 2。当 a1不为 0，k 充分大时，则有所以 （6.2）2 为实根，且 1=- 2， 2 3。当 a1 ，a 2不为 0，k 充分大时，则有于是得 从而有（6.3）（3） 1=u+iv, 2=u-iv,且 2 3。当 k 充分大时，则有（推导过程参见教材 164-165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。若迭代向量各分量单调变化，且
3、有关系式 Xk+1=cXk，则属于第 1 种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式 Xk+2=cXk，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式 Xk+2+pXk+1+qXk0，则属于第 3 种情况；为了防止溢出，可采用迭代公式：（6.6）这里面的代表 Yk 绝对值最大的分量.例 2 乘幂法求矩阵 按模最大特征值和相应特征向量。解 取 X0=（1，1，1） T，用乘幂法迭代公式Xk+1=AXk，k=0,1,.计算列表如下：所以事实上，矩阵 的最大特征值为 其相应的特征向量为 三、逆幂法1. 求 A 按模最小的特征值设非奇异矩阵 A 的 n 个特征值为 1 2 n，其相应的
4、特征向量为 e 1, e2, en，则 的特征值为 其相应的特征向量仍为 e 1, e2, en。 A-1按模最大的特征值的倒数则为矩阵 A 按模最小的特征值。利用乘幂法求 A-1按模最大的特征值。任取初始非零初始向量 X0，作迭代序列Xk+1= A-1Xk，k=0,1,它等价于AXk+1=Xk，k=0,1, （6.8）我们可以通过反迭代过程，即解方程组AXk+1=Xk，k=0,1,求得 Xk+1 。当 n-1 n，a n0, k 充分大时，则有在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵 A 作三角分解A=LR然后再求解方程组 2求在 附近的特征值 设与 最接近的特征值为 即有作矩阵 ，它的特征值和相应的特征向量为若用逆幂法于矩阵 ，则有则可求出矩阵 的按模最小的特征值和相应的特征向量为于是得 A 在 附近的特征值和相应的特征向量为 （6.10）例 3 用逆幂法求矩阵 在 3.4 附近的特征值和相应的特征向量 解 对 A-3.4I 进行三角分解得：用半次迭代法，取 ，则 得 再解 得 再解 得 于是作业练习 6.11用乘幂法求矩阵 按模最大特征值与特征向量。 习题 61. 用乘幂法求下列矩阵按模最大特征值与特征向量。（2）
