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1、2.1 曲线与方程,2.1.1 曲线与方程,为什么?,复习回顾:,我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为_2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是_3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_.,x-y=0,点的横坐标与纵坐标相等,x=y（或x- y=0）,第一、三象限角平分线,含有关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件,方程,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0,思考?,圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:,思考?,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的
2、点.那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.,定义:,1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:,说明:,2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,（纯粹性）.,3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,（完备性）.,由曲线的方程的定义可知:,如果曲线C的方程是 f
3、(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件 是,f(x0, y0)=0,例1 :判断下列命题是否正确,解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=1.(3)正确.(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3y0).,(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为xy=1 (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0,例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(
4、k0)的点的轨迹方程是xy=k.,第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；,归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.,练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0;,(3)曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。,练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？
5、,练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( )A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部,D,C,练习4:设圆M的方程为 ,直线l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ),A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,练习5:已知方程 的曲线经过点 ,则 m =_, n =_.,2.1.
6、2求曲线的方程（1）,复习回顾,2. 练习：(1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_,1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念,3.证明已知曲线的方程的方法和步骤,上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.,“数形结合” 数学思想的基础,1解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何
7、图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.,2平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.,.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得： x+2y7=0 我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程的解，即: x+2y17=0 x1=72y1,解:设M(x,y)是
8、线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合,例2.设A、B两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,即点M1在线段AB的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程是线段AB的垂直平分线的方程.,点M1到A、B的距离分别是,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；,(2)列式:写出适合条件p的点M集合P
9、=M|p(M),(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；,(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,例3.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：,2)列式,3）代换,4)化简,5）审查,1）建系设点,因为曲线在x轴的上方，所以y0, 所以曲线的方程是,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是B，,通过上述
10、两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.,2.1.2 求曲线的方程（2）,求曲线（图形）的方程步骤：,说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；,(2)列式:写出适合条
11、件p的点M集合P=M|p(M),(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；,(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,复习回顾,解:,练习1.,B,B,3.,4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_,解:设动点为(x，y)，则由题设得,化简得:,y2=4(x-1),这就是所求的轨迹方程.,y2=4(x-1),5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.,设A(x，y)，又D(0，0)，所以,化简得 :x2+y2=9 (y0),这就是所求的轨迹方程.,解:取
12、B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.,1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.,直接法 定义法 代入法 参数法,求轨迹方程的常见方法:,3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P(x,y)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0中，得到动点P的轨迹方程.,2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。,已知ABC,A(-2,0),B(0,-2)
13、,第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求ABC的重心的轨迹方程.,4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。,例:已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线与y轴交于点B ，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。,y,归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。,1.求曲线的方程的一般步骤： 设（建系设点） 找（找等量关系） 列（列方程） 化（化简方程） 验（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）,- M(x,y),- P=M|M满足的条件,课堂小结,2.“数形结合” 数学思想的基础,老师寄语: 学好数学,登上人生的又一高度.,数学是金析疑解难，无坚不克，所向披靡； 数学是美逻辑之美，形象之美，美不胜收； 数学是恨成也数学，败也数学； 数学是爱我爱数学，数学爱我， 数学是我获胜的法宝。让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，感受数学的出神入化。,B,D,A,C,B,
