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1、第 4讲 推理与证明 专题四 数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 1.(2015湖北 )已知集合 A (x， y)|1， x， y Z， B (x， y)|x| 2， |y| 2， x， y Z， 定义集合 A B ( A， ( B， 则 A ) 2 3 4 解析 如图 ， 集合 圆点 “ ” ， 集合 ” 所有圆点 “ ” ， 集合 A (x， y)|x| 3， |y| 3， x， y Z中除去四个点 ( 3， 3)， ( 3,3)， (3， 3)， (3,3)之外的所有整点 (即横坐标与纵坐标都为整数的点 )， 1 2 3 4
2、 即集合 A ” 所有圆点 “ ”所有圆点 “ ” ， 共 45个 . 故 A . 答案 C 1 2 3 4 2.(2014北京 )学生的语文 、 数学成绩均被评定为三个等级 ，依次为 “ 优秀 ”“ 合格 ”“ 不合格 ” 数学成绩都不低于学生乙 ， 且其中至少有一门成绩高于乙 ，则称 “ 学生甲比学生乙成绩好 ” 并且不存在语文成绩相同 、 数学成绩也相同的两位学生 ， 那么这组学生最多有 ( ) 1 2 3 4 解析 假设满足条件的学生有 4位及 4位以上 ， 设其中 4位同学分别为甲 、 乙 、 丙 、 丁 ， 则 4位同学中必有两个人语文成绩一样 ， 且这两个人数学成绩不一样 (或
3、4位同学中必有两个数学成绩一样 ， 且这两个人语文成绩不一样 )， 那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好 ， 故满足条件的学生不能超过 3人 . 1 2 3 4 当有 3位学生时 ， 用 A， B， 优秀 ”“ 合格 ”“ 不合格 ” ， 则满足题意的有 所以最多有 3人 . 答案 B 1 2 3 4 3.(2015山东 )观察下列各式： 40； 41; 42； 43； 1 2 3 4 照此规律，当 n N*时， n 1 n 1 n 1 12 n 1 _ _ _. 解析 观察每行等式的特点 ， 每行等式的右端都是幂的形式 ， 底数均为 4， 指数与等式左端最后一个组合数的上标相等 ， 故有
4、C 02 n 1 C 12 n 1 C 22 n 1 C n 12 n 1 4 n 1 . 4n 1 1 2 3 4 4.(2015福建 ) 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串xn(n N*)， 其中 xk(k 1,2， ， n)称为第 二元码是通信中常用的码 ， 但在通信过程中有时会发生码元错误 (即码元由 0变为 1， 或者由 1变为 0). 已知某种二元码 x4 x5 x6 0， x2 x3 x6 0， x1 x3 x5 0， 1 2 3 4 其中运算 定义为 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 101101,那么利用上述校验方
5、程组可判定 _. 解析 ( )x4 x5 x6 1 1 0 1 1， ( )x2 x3 x6 1 0 0 1 0； ( )x1 x3 x5 1 0 1 1 1. 由 ( )( )知 ( )中没有错误 ， 故 . 5 考情考向分析 数阵 、 图形为背景与数列 、 周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理 ， 多以小题形式出现 . 常与函数 、 数列及不等式等综合命题 . 热点一 归纳推理 热点分类突破 (1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征 ， 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 ， 或者由个别事实概括出一般结论的推理 . (2)归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 概括、推广
6、 猜测一般性结论 例 1 (1) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10 ， ，第 n 个三角形数为n n 1 2122n ，记第 n 个 k 边形数为 N ( n ， k )( k 3) ，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 N ( n, 3) 12 n 2 12 n ， 正方形数 N(n,4) 五边形数 N ( n, 5) 32 n 2 12 n ， 六边形数 N(n,6) 2n 可以推测 N(n， k)的表达式 ， 由此计算 N(10,24) _. 可以推测：当 k 为偶数时， N ( n ， k ) k 22 4 k2 n
7、 ， 解析 由 N(n,4) N(n,6) 2n， N (1 0,24) 24 22 100 4 242 10 1 100 100 1 000. 1 000 (2) 已知 f ( n ) 1 1213 1n( n N*) ，经计算得 f (4 ) 2 ，f (8)52， f (16) 3 ， f (3 2)72，则有 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 由题意得 f (2 2 )42 ， f (23 ) 52 ， f (24 ) 62 ， f (25 ) 72 ， 所以当 n 2 时，有 f (2 n )n 22 . 故填 f (2 n )n 22 ( n 2 ， n N* ) . f
8、(2 n )n 22 ( n 2 ， n N* ) 思维升华 归纳递推思想在解决问题时 ， 从特殊情况入手 ， 通过观察 、 分析 、 概括 ， 猜想出一般性结论 ， 然后予以证明 ， 这一数学思想方法在解决探索性问题 、 存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 观察 归纳 猜想 证明 ” ， 解题的关键在于正确的归纳猜想 . 跟踪演练 1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖 ， 按下图的规律拼成若干个图案 ， 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 ( ) 析 有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6
9、为首项 ， 以 5为公差的等差数列 ， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6 5 (6 1) 31. 故选 B. 答案 B (2)两旅客坐火车外出旅游 ， 希望座位连在一起 ， 且有一个靠窗 ， 已知火车上的座位的排法如图所示 ， 则下列座位号码符合要求的应当是 ( ) 9 3 6 5 解析 由已知图形中座位的排列顺序 ， 可得：被 5除余 1的数和能被 5整除的座位号临窗 ， 由于两旅客希望座位连在一起 ， 且有一个靠窗 ， 分析答案中的 4组座位号 ， 只有 答案 D 热点二 类比推理 (1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 ， 推出另一类对象也具
10、有这些特征的推理 . (2)类比推理的思维过程如下： 观察、比较 联 想、类推 猜测新的结论 例 2 (1) 在平面几何中有如下结论：若正三角形 内切圆面积为 S 1 ，外接圆面积为 S 2 ，则S 1S 214. 推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体 的内切球体积为 V 1 ，外接球体积为V 2 ，则V 1V 2 _. 解析 平面几何中 ， 圆的面积与圆的半径的平方成正比 ， 而在空间几何中 ， 球的体积与半径的立方成正比 ， 所以V 1V 2 127 . 127 (2) 已知双曲正弦函数 sh x e x e 类比 正弦函数和余弦函数的 和角或差角 公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的
11、 一个 类似的正确结论 _ _ _ _ . 解析 ch x ch y sh x sh y e x e e y e e x e e y e 14 ( y e x y e x y e x y e x y e x y e x y e x y ) 14 (2 y 2e ( x y ) ) e x y e x y 2 x y ) ， 故知 ch(x y) ch y sh y， 或 sh(x y) sh y ch y， 或 sh(x y) sh y ch y. 答案 ch(x y) ch y sh y 思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理 ， 强调的是两类事物之间的相似性 ， 有共同要素是产生类比迁移的客观因素 ， 类比可以由概念性质上的相似性引起 ， 如等差数列与等比数列的类比 ， 也可以由解题方法上的类似引起 才能有方法上的类比 . 跟踪演练 2 (1) 若数列 a n 是等差数列， b n a 1 a 2 a 数列 b n 也为等差数列 . 类比这一性质可知，若正项数列 c n 是等比数列，且 d n 也是等比数列，则 d n 的表达式应为 ( ) A . d n c 1 c 2 c d n c 1 c 2 c d n d n c 2 c n 解析 由
