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1、 0 G器 鲢 GS lJl 勾股定理问题求解中的思想方j去 海安县李堡镇初级中学储秀梅 数学思想方法通常隐藏在问题之后 说不清、道不明但解题时缺少数学思想 方法的支持。往往问题思路不容易突破 下面结合勾股定理典型习题的求解跟同 学们一起体会解决这些问题背后的思想 方法 一、感受转化思想 例1一个三级台 阶如图1，它的每一级的 长、宽和高分别等于5 cm， 3 cm和1 am，A和B是这 个台阶的两个相对的 端点，A点上有一只蚂 B 图1 蚁，想到日点去吃可口的食物请你想一 想，这只蚂蚁砌点出发，沿着台阶表面爬 到 点，最短线路是多少? 【分析】首先将三个台阶表面展成平 面，再利用勾股定理求解
2、 解：由于蚂蚁是沿台阶的 表面由A爬行到台阶的右下 角故需把三个台阶展开成平 面图形(如图2)把三个台阶展 开成平面图形后，可知AC=5， BC=12在Rt AABC中，因为 圈， AB C 4-Bc2=5。+12 =169所以AB=13故 蚂蚁爬到 点的最短线路是13 am 【点评】解决几何体上的最短路线问 题需把几何图形展成平面图形利用“两 点之间线段最短”以及勾股定理来解决 二、积累配方策略 例2如果AABC的三边分别为a、b、 C且满足02+6 +c +50=6a+8b-4-lOc，手0断 AABC的形状 【分析】要判断AABC的形状，需要找 到口、b、C的关系。而题目中只有条件 +6
3、 -be +50=6a+8b+10c，故只有从该条件人手， 解决问题 解：由 b2+c +50=6a+8b+10c，得 一60+9+6 -8b+16+c 一lOc+25=0 所以( 3) +(64)。+(c一5)。=0 因为( 3) 0，(64) I0，(c一5) I0， 所以a=3。b=4c=5 因为32+42=5 ，所以 62_c 由勾股定理的逆定理知AABC是直角 三角形 。三、体会数形结合 例3 在学习勾股定理时，我们学会 运用图3(I)验证它的正确性图中大正方 形的面积可表示为(a+b) ，也可表示为C +4( )，即(n+6)2mC2+4(1a)，由此推 出勾股定理02+6 -C
4、这种根据图形可以极 简单地直观推论或验证数学规律和公式 的方法，简称“无字证明” b a 圈 b (I) () 口 口 口 Y Y Y () 图3 T ntelligent mathematics 1智麓敦攀 (1)请你用图3()的面积表达式验 证勾股定理(其中四个直角三角形全等)； (2)请你用图3(1lI)提供的图形进行 组合，用组合图形的面积表达式验证( +y =x2+2xy+y2； (3)请你自己设计图形的组合，用其面 积表达式验证：( +p)(x+q)= +p +g +pg = +(P+g)x+pq 【分析】这是一道设计比较新颖，与图 形的组合验证数学关系式有关的题目实 际上是对课本
5、知识的一个拓展涉及勾股 定理和整式的乘法两个方面的知识，掌握 好图形面积的计算方法，不难组合成与表 达式相符合的图形 解：(1)图3()大正方形的面积可表 1 、 示为c ，也可以表示为4fab+(ab) ，即 ， ，1 c -4(- ab I+( ) ，由此可推导出c 6 ； (2)用图3()所给 的四个图形拼一个边长为 ( +y)的正方形即可，如图 4所示： (3)只要一个边长为 因4 的正方形，一个长为 宽为p的长方形，一 个长为口、宽为 的长方形和一个长为P、宽 为 的长方形(如图5)；拼成一个长为( + q)，宽为(x+p)的大长方形即可(如图6，请 同学们仿照我的拼法，自行验证)
6、p口 图5 【点评】拼图验证关 系式问题是一种比较重 要的题型更为重要的 是本题体现了数形结合 思想，这也不难理解，为 什么这么重要的勾股定理一定要安排到 23 八年级才学习，这是因为只有具备了整式 乘除、因式分解、等式的运算基础后，才能 在数与形之间有效关联、深刻理解 跟踪练习 1如图7户斤示，在A C 中，D是BC边上的一点，已 知AB：15，AD=12。AC=13， BD=-9，挡C的长 【分析】根据已知条 B D C 图7 件无法直接求出BC的长因此可尝试利 用勾股定理的逆定理先找出图形中的直 角三角形然后再考虑利用勾股定理求出 线段的长 解：因为AD2+ D2_12 +9。=225，
7、 又因为AB2_152_225 所以ABZ=AD +BD0 根据勾股定理的逆定理，可知AABD 是直角三角形故AADC也是直角三角形 在RtAADC中，根据勾股定理，得 CD ： c2AD2_l3 122_25 所以CD=5故 C=BD+CD=14 2有一圆柱形油罐，如图8所示，要从 A点环绕油罐建梯子，正好：JJA点正上方的 B点，问梯子最短需要多少米?(已知：油罐 底面的周长是12 m，高AB是5 m) 图8 【分析】解此题的关键是把侧面展开，利 用两点的连线中线段最短和勾股定理作答 解：假设将圆柱体的侧面 剪开铺 平。则AA B B为长方形，AB=A B =5 m。AA =12 m BAA = A = A B 船 B-9(Y 因此沿AB 建梯子，最省材料，梯子最短 在Rt AA4 B 中。 B =、AA心 B坨 =、122+5 =13(m) 答：梯子最短需13 m 1lntelligent mathematics 1蟹慧数学 甲
