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1、 l I1_0n 圈 关孑【l】学数学教材【l】 和 韦 俊(新疆伊犁师范学院数学系) 何一龙(新疆伊宁市第三中学) 1问题的提出 在一次有关如何使用初中和高中数学教材教学 的培训中,34位教师围绕“统计总体”的概念以及“标 准差”的使用,展开了激烈的讨论。针对“什么是总 体”这个问题,教师提出疑惑:不同的数学教材对总体 这一概念给予了两种不同的解释。例如,要了解某校 教师的工资水平,有的教材把该校全体教师看成总 体,有的教材则把该校教师工资的全体看成总体。不 同版本的教材为什么要对总体的概念给予不同的定 义,教学中应以哪种说法为准?关于标准差的使用, 教师就一个问题“甲班学生的数学考试成绩的
2、平均分 为85分,标准差为10分;乙班学生的数学考试成绩 的平均分为72分,标准差为9分,哪个班的平均成绩 的代表性较好?”提出了不同的看法。有的教师认为, 当平均数相等或比较接近时,用标准差比较两组数据 的离散程度;有的认为,当两组数据的平均数相差较 大时,也可以用标准差比较两组数据的离散程度。这 是因为学生使用计算器来计算方差,而计算器中只有 方差的计算公式。有个别教师认为,当两组数据的平 均数相差较大时,要视情况来分析,甲班平均分高,说 明甲班的成绩普遍比乙班高一些,虽然甲班的标准差 比乙班的大一点,但是在中学对两个班的成绩做评价 硇 论 时,大家都会认为甲班的平均成绩应该比乙班高。 下
3、面我们先梳理三种不同版本初中和高中数学 教材有关总体的定义,并加以分析和解读。然后再从 应用统计学的角度说明标准差的使用。 2几个不同版本教材对“总体”概念的解释 教材1 义务教育课程标准实验教科书数学 七年级(上)(人民教育出版社,2004年4月第1版)在 “调查中小学生的视力情况抽样调查举例”一节中 提到“整个地区中小学生的视力情况是我们要考察的 全体对象,称为总体”。 教材2义务教育课程标准实验教科书数学 七年级(下)(人民教育出版社,2008年6月第2版)在 “统计调查”一节中提到“某校有2000名学生,要想了 解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、游戏五类电视 节目的喜爱情况全校学生是
4、考查的全体对象,称 为总体,组成总体的每一名学生称为个体”。 教材3普通高中课程标准实验教科书A版数 学3(人民教育出版社,2007年2月第3版)第100 页通过一道选择题间接给出了总体的定义: 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学 生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分 析。在这个问题中,5000名学生成绩的全体 43 2013年我国学者获奖的新意义零的突破、 新的希望 2013年评奖对中国数学教育同仁而言特别值得庆 贺。第一,华东师范大学李仕镝教授参加了本届ICMI 评奖六人委员会,标志着我国专家深入参加了ICMI的 关键事务,在评奖中发挥了重要作用;第二,香港特别 行政
5、区香港大学梁贯成教授荣获汉斯弗赖登塔尔数 学教育积累成果奖,这是我国专家首次获得该项殊荣。 该次获奖说明我国数学教育的国际影响力大大 增强。它标志着我国新中国成立以来在数学教育的 卓越工作,得到国际数学教育界的承认与肯定。2013 年国际数学教育两项奖的评奖结果,说明我国在参与 数学教育评奖的话语权方面,在获得数学教育国际大 奖方面,都实现了零的突破,这标志着我国正在进入 国际数学教育先进行列。期望我国数学教育同行继 续努力,面向世界,虚心学习,戒骄戒躁,在不远的将 来,海峡并肩前进,继续突破菲利克斯克 莱因数学教育终身成就奖,取得更辉煌的成果。 参考文献: 1王林全国际数学教育的大奖它的设立
6、、机制与影 响J_数学通报,2008(1O):6-9,14 【1,学数学般学参鸯 20 lJ j 一 、 训, ; jit 是( )。 A总体 B个体 c从总体中抽取的一个样本 D样本的容量 3对“总体”两种解释的解读 梳理和分析以上教材对总体概念的解释,可以看 出总体概念有两种定义:一是“由统计研究目的确定 的,具有相同性质的许多个别事物组成的集合”【 】,而 构成总体的个别事物叫个体。例如,根据“了解某地 参加计算机水平测试的5000名学生的成绩”这一统 计研究目的,可以确定5000名学生的全体就是总体。 有的学者把这个总体称为“自然总体” 。二是“自然 总体中每个个体的测量值的集合”,文
7、献2中称这样 的总体为“测量总体”,按此定义,5000名学生成绩的 全体就是总体。对总体概念进行两种界定,主要是由 于描述统计和推断统计研究问题的侧重点不同造 成的。 描述统计是利用数字方法和图象方法寻找数据 集的模式总结数据集展现的信息,并用方便的形式表 达这些信息 。 。内容主要包括统计数据的收集、整 理,数据分布特征的概括与分析。实际中,一项统计 工作(这里指描述统计工作)包括统计调查、统计整理 和统计分析,统计整理在统计工作中起着承上启下的 作用。统计整理是对数据资料进行统计分组、汇总, 进而将整理结果编制成统计表或绘制成统计图,简明 扼要地表达现象的数据特征。统计分组是数据整理 的关
8、键,它是根据统计研究目的,按照某一标志将总 体分成若干个不同的组。要对调查收集的数据资料 进行科学的分组,就要明确总体并选择恰当的“标 志”。按照文献1的提法,总体是根据统计任务的要 求,由客观存在的、在同一性质上结合起来的许多个 别事物的集合,构成总体的个别事物叫个体,又称总 体单位,个体可以是“人”或“物”。标志则是说明个体 (总体单位)的数量特征或属性特征的名称。标志可 分为品质标志和数量标志。下面以教材3中的问题 为例来说明。 根据统计研究目的,5000名学生的全体构成总 体,每一名学生就是个体(或总体单位),每一名学生 具有姓名、性别、籍贯、年龄、学习成绩等一系列标志, 其中姓名、性
9、别、籍贯是反映每一名学生属性特征的 品质标志,而年龄、学习成绩则是反映每一名学生数 量特征的数量标志。在统计整理阶段,调查者通常会 -| 强 *一 根据统计研究的目的,按照性别、成绩等标志将所j 的学生分成若干组,再对经过审核后的数据进行分组 汇总。如果是按照性别这一品质标志分组,汇总时采 用划记法手工汇总或计算机汇总;如果按照成绩这一 数量标志分组,汇总时采用过录法手工汇总或计算机 汇总。统计整理的最后阶段是编制成统计表或绘制 成统计图。当研究者采用性别等品质标志分组、汇总 后,可以绘制出条形图,不可能绘制成直方图;当采用 成绩等数量标志分组、汇总后,可以编制直方图。直 方图与条形图的使用条
10、件在于采用哪一种标志对总 体进行分组。如果将5000名学生成绩的全体看作总 体,在整理数据时,研究者就不可能选择合适的标志 对成绩全体进行分组。 教材1将“全校学生看做总体,每一名学生看作 个体”是为了选择恰当的标志对收集来的数据进行统 计分组和汇总。因此教材2对总体的界定是恰当的, 教材1对总体的解释不合理。 推断统计是利用总体中抽取的样本所包含的信 息,作出关于总体的特性的推断(推断意指得出结论、 作出预测、作出决策等)l3,即用样本的指标数值去估 计和推断总体的指标数值。在研究问题的过程中,研 究者不关心总体中的某一个个体具有什么样的数量 特征或属性特征,他们关注的是反映总体状况的某一
11、个或某几个数量指标的分布情况。例如,成绩在 8O一9O分之间的学生所占的比重,学生的成绩呈现 什么样的分布。就某一个数量特征“成绩”而言,每一 名学生的成绩不一定完全相同,当研究者从总体中随 机抽取一个个学生,观察他们的成绩,这就是一个随 机试验,而成绩作为随机试验中被观察的量,它的取 值随随机试验的结果而定,成绩是一个随机变量,并 且服从一定的概率分布。因此,对于一个总体来说, 其每一数量特征就是一个随机变量 。在统计推断 中,由于人们主要研究总体的数量特征,所以就把总 体看作表征自然总体的每一个测量值(观察值)的:全 体,个体是指每一个实验结果或每一个测量(观察)数 据。例如,把5000名
12、学生成绩的全体看成总体,每一 名学生的成绩是个体。 教材3将5000名学生成绩的全体视为总体,200 名学生成绩的全体视为样本总体是基于统计推断的 需要。高中阶段学生要学习一部分推断统计的内容。 因而,教材3对总体概念的解释也是合理的。 综上,总体是所研究的某一类对象的全体,随研 究的问题而改变,构成总体的每个基本单元称为个 体 。实际中,个体有时指“人”或“物”,有时指每一 眵 : l E口 j rI学数学教学参考 0 j i 奢 丽 ; 个实验结果、每一个数据。当把个体视为每一个随机 试验的结果时,个体又被称为一个随机事件或样本 点,相对应的总体被称为样本空间,样本则被看做由 某几个样本点
13、组成的集合。 4教材对“标准差”使用条件的说明 教材1义务教育课程标准实验教科书数学 八年级(下)(人民教育出版社,2008年6月第2版)在 “数据的波动”一节中通过下面两个问题归纳出了标 准差的计算。 问题1:在一次女子排球比赛中,甲、乙两队参赛 选手的年龄如下:(数据略) (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少? (2)你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗? 一269, z一269,s 一229,s 一089,s S2 ,由此甲队选手年龄的波动较大。 问题2:在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞 团都表演了天鹅湖,参加表演的女演员的身高分别 是:(数据略) 哪个芭蕾舞团女演员的身高更稳定?
14、 z 165,zz166,S 136,S2 275,S s ,由此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。 教材2普通高中课程标准实验教科书A版数 学3(人民教育出版社,2007年2月第3版)第77页 页通过如下例题巩固标准差的意义和计算。 甲、乙两人同时生产内径为2540 mm的一种零 件。为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的 零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下:(数据略) 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量 较高? 甲25401,z 25406,S 0037,S 0068。 从样本的平均数看,甲生产的零件内径比乙生产 的零件内径更接近内径标准,但是二者差异很小;从 样本标准差看,由于S
15、 S ,因此甲生产的零件内 径比乙生产的零件内径稳定程度高得多。于是,可以 作出判断,甲生产的零件质量比乙的高一些。 两种教材没有明确指出标准差的使用条件,但是 通过对上述三个问题的分析,可以看出当平均数相等 或大致相等时,用标准差可以比较数据的离散程度。 5对“标准差”使用条件的解读 标准差和平均数一样,其大小不仅取决于数量标 志值的离散程度,还取决于平均数的高低。通常情况 下,平均数越大,标准差的值一般也较大,平均数较 小,标准差的值也较小。对具有不同平均数的总体 (或样本),直接通过标准差比较数据的离散程度可能 会导致错误的认识。例如,甲乙两班学生数学考试成 绩,甲班平均分为85分,标准
16、差为1O分;乙班平均分 为72分,标准差为9分。甲班数学考试成绩的标准 差虽然大于乙班,但不能由此断定甲班数学成绩的差 异程度大于乙班。从数据可见,甲乙两个班的平均成 绩相差较大,所以不能只根据标准差的大小下结论, 需要用另外一个指标标准差系数来比较甲乙两 个班数学成绩的分散程度。 甲班标准差系数V 一 一1176 ,乙班标准差 田 系数Vo一 一125。 z乙 计算结果说明甲班平均成绩代表性较好,成绩差 异程度较小。 标准差系数Yo-一 能消除不同平均数所产生的 J 影响,同时也表明数据的相对差异程度。标准差系数 是一个相对指标,可以用于比较不同类现象、不同计 量单位的数据变异的状况。 例如,某小学一年级学生的平均体重为25千克, 体重的标准差是37千克;平均身高110厘米,标准 差为62厘米; 体重一 一 一148,V身高一号一