关于中学数学教材中“总体”概念和“标准差”应用的讨论

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1、 l I1_0n 圈 关孑【l】学数学教材【l】 和 韦 俊(新疆伊犁师范学院数学系) 何一龙(新疆伊宁市第三中学) 1问题的提出 在一次有关如何使用初中和高中数学教材教学 的培训中，34位教师围绕“统计总体”的概念以及“标 准差”的使用，展开了激烈的讨论。针对“什么是总 体”这个问题，教师提出疑惑：不同的数学教材对总体 这一概念给予了两种不同的解释。例如，要了解某校 教师的工资水平，有的教材把该校全体教师看成总 体，有的教材则把该校教师工资的全体看成总体。不 同版本的教材为什么要对总体的概念给予不同的定 义，教学中应以哪种说法为准?关于标准差的使用， 教师就一个问题“甲班学生的数学考试成绩的

2、平均分 为85分，标准差为10分；乙班学生的数学考试成绩 的平均分为72分，标准差为9分，哪个班的平均成绩 的代表性较好?”提出了不同的看法。有的教师认为， 当平均数相等或比较接近时，用标准差比较两组数据 的离散程度；有的认为，当两组数据的平均数相差较 大时，也可以用标准差比较两组数据的离散程度。这 是因为学生使用计算器来计算方差，而计算器中只有 方差的计算公式。有个别教师认为，当两组数据的平 均数相差较大时，要视情况来分析，甲班平均分高，说 明甲班的成绩普遍比乙班高一些，虽然甲班的标准差 比乙班的大一点，但是在中学对两个班的成绩做评价 硇 论 时，大家都会认为甲班的平均成绩应该比乙班高。 下

3、面我们先梳理三种不同版本初中和高中数学 教材有关总体的定义，并加以分析和解读。然后再从 应用统计学的角度说明标准差的使用。 2几个不同版本教材对“总体”概念的解释 教材1 义务教育课程标准实验教科书数学 七年级(上)(人民教育出版社，2004年4月第1版)在 “调查中小学生的视力情况抽样调查举例”一节中 提到“整个地区中小学生的视力情况是我们要考察的 全体对象，称为总体”。 教材2义务教育课程标准实验教科书数学 七年级(下)(人民教育出版社，2008年6月第2版)在 “统计调查”一节中提到“某校有2000名学生，要想了 解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、游戏五类电视 节目的喜爱情况全校学生是

4、考查的全体对象，称 为总体，组成总体的每一名学生称为个体”。 教材3普通高中课程标准实验教科书A版数 学3(人民教育出版社，2007年2月第3版)第100 页通过一道选择题间接给出了总体的定义： 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学 生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分 析。在这个问题中，5000名学生成绩的全体 43 2013年我国学者获奖的新意义零的突破、 新的希望 2013年评奖对中国数学教育同仁而言特别值得庆 贺。第一，华东师范大学李仕镝教授参加了本届ICMI 评奖六人委员会，标志着我国专家深入参加了ICMI的 关键事务，在评奖中发挥了重要作用；第二，香港特别 行政

5、区香港大学梁贯成教授荣获汉斯弗赖登塔尔数 学教育积累成果奖，这是我国专家首次获得该项殊荣。 该次获奖说明我国数学教育的国际影响力大大 增强。它标志着我国新中国成立以来在数学教育的 卓越工作，得到国际数学教育界的承认与肯定。2013 年国际数学教育两项奖的评奖结果，说明我国在参与 数学教育评奖的话语权方面，在获得数学教育国际大 奖方面，都实现了零的突破，这标志着我国正在进入 国际数学教育先进行列。期望我国数学教育同行继 续努力，面向世界，虚心学习，戒骄戒躁，在不远的将 来，海峡并肩前进，继续突破菲利克斯克 莱因数学教育终身成就奖，取得更辉煌的成果。 参考文献： 1王林全国际数学教育的大奖它的设立

6、、机制与影 响J_数学通报，2008(1O)：6-9，14 【1，学数学般学参鸯 20 lJ j 一 、 训， ； jit 是( )。 A总体 B个体 c从总体中抽取的一个样本 D样本的容量 3对“总体”两种解释的解读 梳理和分析以上教材对总体概念的解释，可以看 出总体概念有两种定义：一是“由统计研究目的确定 的，具有相同性质的许多个别事物组成的集合”【 】，而 构成总体的个别事物叫个体。例如，根据“了解某地 参加计算机水平测试的5000名学生的成绩”这一统 计研究目的，可以确定5000名学生的全体就是总体。 有的学者把这个总体称为“自然总体” 。二是“自然 总体中每个个体的测量值的集合”，文

7、献2中称这样 的总体为“测量总体”，按此定义，5000名学生成绩的 全体就是总体。对总体概念进行两种界定，主要是由 于描述统计和推断统计研究问题的侧重点不同造 成的。 描述统计是利用数字方法和图象方法寻找数据 集的模式总结数据集展现的信息，并用方便的形式表 达这些信息 。 。内容主要包括统计数据的收集、整 理，数据分布特征的概括与分析。实际中，一项统计 工作(这里指描述统计工作)包括统计调查、统计整理 和统计分析，统计整理在统计工作中起着承上启下的 作用。统计整理是对数据资料进行统计分组、汇总， 进而将整理结果编制成统计表或绘制成统计图，简明 扼要地表达现象的数据特征。统计分组是数据整理 的关

8、键，它是根据统计研究目的，按照某一标志将总 体分成若干个不同的组。要对调查收集的数据资料 进行科学的分组，就要明确总体并选择恰当的“标 志”。按照文献1的提法，总体是根据统计任务的要 求，由客观存在的、在同一性质上结合起来的许多个 别事物的集合，构成总体的个别事物叫个体，又称总 体单位，个体可以是“人”或“物”。标志则是说明个体 (总体单位)的数量特征或属性特征的名称。标志可 分为品质标志和数量标志。下面以教材3中的问题 为例来说明。 根据统计研究目的，5000名学生的全体构成总 体，每一名学生就是个体(或总体单位)，每一名学生 具有姓名、性别、籍贯、年龄、学习成绩等一系列标志， 其中姓名、性

9、别、籍贯是反映每一名学生属性特征的 品质标志，而年龄、学习成绩则是反映每一名学生数 量特征的数量标志。在统计整理阶段，调查者通常会 -| 强 *一 根据统计研究的目的，按照性别、成绩等标志将所j 的学生分成若干组，再对经过审核后的数据进行分组 汇总。如果是按照性别这一品质标志分组，汇总时采 用划记法手工汇总或计算机汇总；如果按照成绩这一 数量标志分组，汇总时采用过录法手工汇总或计算机 汇总。统计整理的最后阶段是编制成统计表或绘制 成统计图。当研究者采用性别等品质标志分组、汇总 后，可以绘制出条形图，不可能绘制成直方图；当采用 成绩等数量标志分组、汇总后，可以编制直方图。直 方图与条形图的使用条

10、件在于采用哪一种标志对总 体进行分组。如果将5000名学生成绩的全体看作总 体，在整理数据时，研究者就不可能选择合适的标志 对成绩全体进行分组。 教材1将“全校学生看做总体，每一名学生看作 个体”是为了选择恰当的标志对收集来的数据进行统 计分组和汇总。因此教材2对总体的界定是恰当的， 教材1对总体的解释不合理。 推断统计是利用总体中抽取的样本所包含的信 息，作出关于总体的特性的推断(推断意指得出结论、 作出预测、作出决策等)l3，即用样本的指标数值去估 计和推断总体的指标数值。在研究问题的过程中，研 究者不关心总体中的某一个个体具有什么样的数量 特征或属性特征，他们关注的是反映总体状况的某一

11、个或某几个数量指标的分布情况。例如，成绩在 8O一9O分之间的学生所占的比重，学生的成绩呈现 什么样的分布。就某一个数量特征“成绩”而言，每一 名学生的成绩不一定完全相同，当研究者从总体中随 机抽取一个个学生，观察他们的成绩，这就是一个随 机试验，而成绩作为随机试验中被观察的量，它的取 值随随机试验的结果而定，成绩是一个随机变量，并 且服从一定的概率分布。因此，对于一个总体来说， 其每一数量特征就是一个随机变量 。在统计推断 中，由于人们主要研究总体的数量特征，所以就把总 体看作表征自然总体的每一个测量值(观察值)的：全 体，个体是指每一个实验结果或每一个测量(观察)数 据。例如，把5000名

12、学生成绩的全体看成总体，每一 名学生的成绩是个体。 教材3将5000名学生成绩的全体视为总体，200 名学生成绩的全体视为样本总体是基于统计推断的 需要。高中阶段学生要学习一部分推断统计的内容。 因而，教材3对总体概念的解释也是合理的。 综上，总体是所研究的某一类对象的全体，随研 究的问题而改变，构成总体的每个基本单元称为个 体 。实际中，个体有时指“人”或“物”，有时指每一 眵 ： l E口 j rI学数学教学参考 0 j i 奢 丽 ； 个实验结果、每一个数据。当把个体视为每一个随机 试验的结果时，个体又被称为一个随机事件或样本 点，相对应的总体被称为样本空间，样本则被看做由 某几个样本点

13、组成的集合。 4教材对“标准差”使用条件的说明 教材1义务教育课程标准实验教科书数学 八年级(下)(人民教育出版社，2008年6月第2版)在 “数据的波动”一节中通过下面两个问题归纳出了标 准差的计算。 问题1：在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛 选手的年龄如下：(数据略) (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少? (2)你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗? 一269， z一269，s 一229，s 一089，s S2 ，由此甲队选手年龄的波动较大。 问题2：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞 团都表演了天鹅湖，参加表演的女演员的身高分别 是：(数据略) 哪个芭蕾舞团女演员的身高更稳定?

14、 z 165，zz166，S 136，S2 275，S s ，由此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。 教材2普通高中课程标准实验教科书A版数 学3(人民教育出版社，2007年2月第3版)第77页 页通过如下例题巩固标准差的意义和计算。 甲、乙两人同时生产内径为2540 mm的一种零 件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的 零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下：(数据略) 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量 较高? 甲25401，z 25406，S 0037，S 0068。 从样本的平均数看，甲生产的零件内径比乙生产 的零件内径更接近内径标准，但是二者差异很小；从 样本标准差看，由于S

15、 S ，因此甲生产的零件内 径比乙生产的零件内径稳定程度高得多。于是，可以 作出判断，甲生产的零件质量比乙的高一些。 两种教材没有明确指出标准差的使用条件，但是 通过对上述三个问题的分析，可以看出当平均数相等 或大致相等时，用标准差可以比较数据的离散程度。 5对“标准差”使用条件的解读 标准差和平均数一样，其大小不仅取决于数量标 志值的离散程度，还取决于平均数的高低。通常情况 下，平均数越大，标准差的值一般也较大，平均数较 小，标准差的值也较小。对具有不同平均数的总体 (或样本)，直接通过标准差比较数据的离散程度可能 会导致错误的认识。例如，甲乙两班学生数学考试成 绩，甲班平均分为85分，标准

16、差为1O分；乙班平均分 为72分，标准差为9分。甲班数学考试成绩的标准 差虽然大于乙班，但不能由此断定甲班数学成绩的差 异程度大于乙班。从数据可见，甲乙两个班的平均成 绩相差较大，所以不能只根据标准差的大小下结论， 需要用另外一个指标标准差系数来比较甲乙两 个班数学成绩的分散程度。 甲班标准差系数V 一 一1176 ，乙班标准差 田 系数Vo一 一125。 z乙 计算结果说明甲班平均成绩代表性较好，成绩差 异程度较小。 标准差系数Yo-一 能消除不同平均数所产生的 J 影响，同时也表明数据的相对差异程度。标准差系数 是一个相对指标，可以用于比较不同类现象、不同计 量单位的数据变异的状况。 例如，某小学一年级学生的平均体重为25千克， 体重的标准差是37千克；平均身高110厘米，标准 差为62厘米； 体重一 一 一148，V身高一号一