《高中数学联赛基本知识集锦》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学联赛基本知识集锦（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 11 页 1高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式 2cos1sincocos1insico12tan积化和差 iinsi s21cococsssin和差化积 2coi2si sinnccos2sii2万能公式 2tan1si2tco2tanta第 2 页 共 11 页 2三倍角公式 oo60sin60sin4isin3i3 ccoc4o二、某些特殊角的三角函数值
2、除了课本中的以外，还有一些sin cos tano1542642632o7o18415o72 415三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去举个例子求值： 76cos472cos提示：乘以 ，化简后再除下去。in求值： 80sin450cs1s22来个复杂的设 n 为正整数，求证 nini 21s1另外这个题目也可以
3、用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲四、三角不等式证明最常用的公式一般就是：x 为锐角，则 ；还有就是正余弦的有界性。xtansi例求证：x 为锐角，sinx+tanx1，q1 且 则Rbai， 1qpqnipninii b111 注：这个式子成立的前提挺多，不难看出当 p=q=2 时，这个式子即为柯西不等式。3 排序不等式4 琴生不等式首先来了解凸函数的定义一般的，设 f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数 x1，x 2 都有2211xffxf则称 f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如 y=x2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难
4、证明其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。凸函数具有的常用性质性质一：对于(a,b)内的凸函数 f(x)，有第 11 页 共 11 页 11nxfxfniini11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若 ，则1nianiiniixfxaf11注：加权琴生不等式很重要，当 时，即为原始的琴生不等式。nai1注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果
5、将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。例设 xi0（i=1,2,n） ， ，求证：nix1 ni niiixx11注：不仅要用琴生不等式，注意知识综合利用。5 利用二次函数的性质一般来说，许多题目是涉及 x，y，z 三个量的证明题，由于二次函数的性质十分好用，因此凑出一个关于其中一个字母的二次函数，进而利用二次函数的性质可以解决最值问题。例设 x,y,z0，且 x+y+z=1，求 xy+yz+zx-3xyz 的最大最小值。提示：将 x=1-y-z 代入，整理成关于 y 的二次函数，最值即为 ，13422zzz整理后不难得到 z=0 和 z=1 式分别取到最大值 和最小值 0，然后只需举一例证明能够取41到即可。
