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1、非线性系统分析习题第 2 章2-1 电路如题图 2-1 所示，若 ， ， ，试讨论对下列各11tanhui23i33lnuq组变量：（1） 和 ；（2） 和 ；（3 ） 和 ；（ 4） 和 ；是否存在标准形式的状态i3u2q232方程？若存在，请导出该状态方程。题图 2-1和 存在标准状态方程2i3u32321)(tan(1dtuit uis2-2 题图 2-2 所示电路，非线性电阻的特性为： ，试导出电路的状态方程。223RRui题图 2-2LCLCLCsiRudtiiuid21211 )3(tt2-3 试确定下列函数是否满足全局 Lipschitz条件（1） 可能不满足2211()Tfxx
2、（2） 满足22xe2-4 Van der pol方程可以用状态方程描述为1221()xx&试证明，任取初始条件 ，对于某些充分小的 ，状态方程在 上有唯一解。02， 02-5 考虑标量微分方程 0tan(),()xx&试证明微分方程对于任意 ，在区间 上具有唯一解。,)2-6 已知非线性系统的状态方程为 texxtdtx22211321anh4试判断该状态方程是否有唯一解。当 时有唯一解00,tt2-7 试求下列电路状态方程的平衡点。（1） （0 ，0） （2） （0，0）dxybdtycax 2yxdtyx（3） （0 ，0） ；（1，0 ） ；（-1，0）3xdty（4） 1sin2xd
3、ty L,210),(;kk，（5） (0,0)；3dybdtyeyx 0,db),();db,( 第 3 章3-1 分别取 ， ，用等倾线法绘出范德坡方程的轨线。设初值为：5.02（1） ;（2） ;(3) 。3)(,x&1)0(,x&3)0(,.2)0(xx&3-2 用 linard 作图法绘出 时，范德坡方程初值为 的轨线。5.03-3 试证明在 时，范德坡方程的等倾线包含 3 个分支。m3-4 试确定下列线性微分方程组奇点的类型，并定性作出相图。（1） ； 稳定结点yxdtyx321（2） ；鞍点yxdtyx2（3） ； 不稳定结点 yxdtyx321（4） ； 稳定结点yxdtyx3
4、01（5） ； 鞍点yxdtyx302（6） ； 非初等奇点，轨线趋于奇线yxdtyx124（7） ； 非初等奇点，轨线平行于奇线yxdtyx24（8） ； 不稳定结点yxdtyx302（9） ; 中心yxdtyx021(10) 不稳定焦点yxdtyx133-5 试求下列各非线性状态方程平衡点处的线性化系统，并决定该平衡点的类型。（1 ） 平衡点（0 ，0） 鞍点xydtydtx（2 ）平衡点（0，0 ） 中心、焦点或中心焦点之一2yxdty xdty（3） 平衡点（0 ，0） ， 鞍点3xdtyxdty（1，0 ） ， （-1，0） 中心、焦点或中心焦点之一xdty（4） 平衡点（0，0 ）
5、 不稳定退化结点21ydtexy ydt3-6 考察下列非线性系统是否存在极限环，如存在极限环，通过极坐标变换来判断极限环的稳定性。（1） ，存在稳定的极限环2121()xx&2(1)r&1r（2）2121212()sin()xx&存在半稳定的极限环1sin)1(2rr（3） 不存在极限环21,xx（4 ） 不存在2121cos()si&第 4 章4-1 试对二阶自治系统的各类平衡点，按 Lyapunov稳定性的定义对平衡点的稳定性类型进行分类。4-2 试判断下面的每一个函数是否为：（1）局部正定函数；（2）正定函数；（3）半正定函数；（4）不定函数。（1） ； 正定函数42121(,)Vxx
6、（2） ；局部正定函数（ ）22x（3） ； 局部正定函数121(,)sin()xx10（ ）（4） ；正定函数2121,+V（5） 半正定函数12(,)xxe4-3 试讨论下列系统原点的稳定性，指出它们是否稳定；如果稳定，是否全局的。（1） ；局部渐近稳定221,x&（2） ；局部渐近稳定（设)1(),( 22xx ）211),(xV（3） ；不稳定，利用首次近似)3(cosin-2875 x（4） ; 1,s11 ttx&4-4 考虑系统32121,xx预选 V 函数为 ,证明平衡点（0,0）是不稳定的。)(x4-5 某非线性电路的状态方程为212311 3,xx&（1 ） 求系统的所有平
7、衡点；（0,0） ， （2,6） （-2，-6 ）（2） 通过平衡点处的线性化系统研究所有平衡点处的局部稳定性；（0,0）不稳定；（2,6） ，稳定；（-2，-6） ；稳定（3） 利用二次 Lyapunov函数，估计每个渐近稳定的平衡点的吸引域，并尽可能极大化吸引域（提示：对每个渐近稳定的平衡点，将坐标原点平移到平衡点处，然后进行分析） ；（4） 绘出系统的相轨迹和前列分析对比。4-6 试证明：如果存在对称矩阵 P 和 Q 使得PAT2 则 A 的所有特征值的实部均小于 。4-7 考虑一个二阶系统uxxsat21221sin)(-3&其中 sat 函数定义为 1)()(signat当 时，试采用平衡点（0,0）处的线性化系统证明系统是局部不稳定的；0u4-8 通信网络锁相环回路方程可描述为cos()in()0yabyy&（1） 取 ，试导出状态方程；12=,x&（2） 设 ，取预选 Lyapunov函数为 ，证明：0c2121(,)(cos)xVx如果 ，平衡点（0,0）是稳定的；如果 ，平衡点（0,0）是渐近稳定的（提示：应ab 0ab用 Lasalle定理）
