实验五 用matlab求二元函数的极值

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1、实验五 用 matlab 求二元函数的极值1计算二元函数的极值对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤 1.定义二元函数 ),(yxfz.步骤 2.求解方程组 0,yx ,得到驻点.步骤 3.对于每一个驻点 ),(0,求出二阶偏导数222,.zzABCxy步骤 4. 对于每一个驻点 yx,计算判别式 2C,如果 02,则该驻点是极值点,当 0A为极小值, A为极大值; 如果 0,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果 2BC则该驻点不是极值点.2计算二元函数在区域 D 内的最大值和最小值设函数 ),(yxfz在有界区域 上连续，则 ),(yxf在 D上

2、必定有最大值和最小值。求 ),(yxf在 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤 1. 计算 ),(yxf在 内所有驻点处的函数值；步骤 2. 计算 在 D的各个边界线上的最大值和最小值；步骤 3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在 D内的最大值和最小值。3函数求偏导数的 MATLAB 命令MATLAB 中主要用 diff 求函数的偏导数,用 jacobian 求 Jacobian 矩阵。diff(f,x,n) 求函数 f 关于自变量 x 的 n 阶导数。jacobian(f,x)求向量函数 f 关于自变量 x(x 也为向量) 的 jacobian 矩阵。可以用 help diff, hel

3、p jacobian 查阅有关这些命令的详细信息例 1 求函数 3284yxz的极值点和极值.首先用 diff 命令求 z 关于 x,y 的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans =4*x3-8*yans =-8*x+4*y即.48,43yxyzxz再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用 solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解方程的 MATLAB 代码为：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点，分别是 P

4、(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8C =4由判别法可知 )2,4(P和 ),(Q都是函数的极小值点，而点 Q(0,0)不是极值点，实际上，),(和 ,是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z

5、)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图 16.5.1 图 16.5.1 函数曲面图可见在图 6.1 中不容易观测极值点,这是因为 z 的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图 16.5.2图 16.5.2 等值线图由图 16.5.2 可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 )24(P和 )(Q.根据提梯度与等高线之间的关系 ,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可

6、知,极值点应该有等高线环绕,而点 )0,(Q周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.例 求函数 xyz在条件 1y下的极值.构造 Lagrange 函数)1(),(yxxL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 关于 y的一阶偏导数clear; syms x y kl=x*y+k*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得,1, yxLxyxL再解方程clear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得,21,21yx进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.例 3 抛物面 yxz被平面 1

7、zyx截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数 22),(zyxzyf在条件2yxz及 1z下的最大值和最小值问题.构造 Lagrange 函数)1()(),( 222 zyxzyxyxL求 Lagrange 函数的自由极值.先求 L关于 ,的一阶偏导数clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得 zLyLxL2,2,21,2zxzy再解方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+

8、v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得 .32,1,317,35 m zyx上面就是 Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 f在有界闭集 1,:),(2zyxz，上连续，从而存在最大值与最小值） ，故由 359.),231,( mf求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为 ，最短距离为 359。习题 16-51.求 144xyz的极值，并对图形进行观测。2.求函数 2,f在圆周 12yx的最大值和最小值。3.在球面2z求出与点(3,1,-1) 距离最近和最远点。