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1、 凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815Mail ：分类讨论思想 第 18讲分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏” ；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围 (
2、全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论( 必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避
3、开讨论；(4) 数形结合利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论注：能回避分类讨论的尽可能回避1. 一条直线过点(5,2)且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为 _2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形， 则它的体积为_. 3.函数 f(x) 的定义域为一切实数，则实数 a 的取值范围是ax2 aa 1x 12a 1_4.数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2n1(nN *)，则其通项 an_.【例 1】在ABC 中，已知 sinB ，a 6，b8，求边 c 的长154 凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808
4、室联系电话：025-83657815Mail ：【例 2】解关于 x 的不等式：ax 2(a1)x10(n1,2，)(1) 求 q 的取值范围；(2) 设 bna n2 a n1 ，记b n的前 n 项和为 Tn，试比较 Sn 与 Tn 的大小. 【例 4】已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x 22x.(1) 求函数 g(x)的解析式；(2) 若 h(x)g(x) f(x)1 在 1,1上是增函数，求实数 的取值范围 凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815Mail ：1. (2009全国)双曲线的
5、一条渐近线方程为 3x2y0，则该双曲线的离心率为_2.(2011辽宁)设函数 f(x)Error! 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_3.(2011江苏)已知实数 a0，函数 f(x)Error!若 f(1a)f(1 a)，则 a 的值为_4.(2010福建)函数 f(x)Error! 的零点个数为_5.(2011江西)设 f(x) x3mx 2nx.13(1) 如果 g(x)f(x)2x3 在 x2 处取得最小值5，求 f(x)的解析式；(2) 如果 mn0，使得 f(x)h(x)(x2ax 1) ，则称函数 f(x)具有性质 P(a)设函数 f(x)lnx (x1)，其中 b 为
6、实数b 2x 1(1) 求证：函数 f(x)具有性质 P(b); (2) 求函数 f(x)的单调区间(2011南通)(本小题满分 16 分) 已知各项均不为零的数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足a1c,2S na nan1 r.(1) 若 r6，数列a n能否成为等差数列？若能，求 c 满足的条件；若不能，请说明理由(2) 设 Pn ，Q n a1a1 a2 a3a3 a4 a2n 1a2n 1 a2n a2a2 a3 a4a4 a5，若 rc4，求证：对于一切 nN *，不等式n1，则 0c11 时，求函数 h(x)f(x)g(x)的最小值；(3) 当 a1 时，h(x) f(x)g(
7、x)x 22lnx x ，得12 xh(x)2x 2x 12 12x 2x 1x 1x x 12x( 1) .x 4xx x x 1 x2x 由 x0，得 0.4xx x x 1 x2x故当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)递增所以 h(x)的最小值为 h(1)12ln1 1 .12 32(3) a 时，f(x)x 2 lnx，g(x)2x .12 12 x当 x 时， f(x)2x 0，g(x)在 上为增函数，14，12) 12x 4x 12x 14，12且 g(x)g 1 ，且 g(x)g 0，要使不等式 f(x)mg(x)(12) 22 (14)在 x 上恒成立，当 x 时，m 为任
8、意实数，当 x 时，m ，而14，12 14 14，12 fxgxmin ln(4e)，所以 m ln(4e)fxgxf(12)g(12) 2 24 2 243. 设 a 为实数，函数 f(x)2x 2(x a)|xa|. (1) 若 f(0)1，求 a 的取值范围；(2) 求 f(x)的最小值；(3) 设函数 h(x)f(x)，x(a，) ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)1 的解集点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力解：(1) 若 f(0)1，则a|a|1 Error!
9、a1.(2) 当 xa 时，f(x)3x 22axa 2，f(x) minError!Error!当 xa 时，f(x)x 22axa 2，f(x) minError!Error!综上可得 f(x)minError!(3) x(a，)时，h(x)1 得 3x22axa 210，4a 212(a 21)128a 2.当 a 或 a 时，0，x(a，)；62 62当 a 时，0，得：Error!62 62 凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815Mail ：讨论得：当 a 时，解集为(a，) ；(22，62)当 a 时，解集为 ；
10、( 62， 22) (a，a 3 2a23 a 3 2a23 ， )当 a 时，解集为 . 22，22 a 3 2a23 ， )基础训练1. 2x5y0 或 xy70解析：分直线过原点和不过原点两种情况2. 4 或 解析：分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况38333. 0a1解析： 由题知 ax2a(a 1)x (a1)0 对 xR 恒成立，分 a0 和12a0 两种情况讨论4. anError!解析：在使用公式 anS nS n1 时要注意条件 n2，nN *.例题选讲例 1解析：sinB ，ab，若 B 为锐角，则 cosB ，由余弦定理得，154 14c2362
11、6c cosB64，即 c23c280， c7；若 B 为钝角，则 cosB，由余弦定理得 c23626ccosB64，即 c23c 280，14 c3，故边 c 的长为 7 或 3.(注： 在三角形中，内角的取值范围是(0 ，) ，ba，cosB ，则 B 可能是锐角也可14能是钝角，故要分两种情况讨论但本题如改成 a8，b6，那情况又如何呢？)变式训练ABC 中，已知 sinA ，cosB ，求 cosC.12 513解： 0cosB ，B(0 ，) ， 45B90 ，且 sinB .513 22 1213若 A 为锐角，由 sinA ，得 A30，此时 cosA ；12 32若 A 为钝
12、角，由 sinA ，得 A150，此时 AB180.12这与三角形的内角和为 180相矛盾，可见 A150. cosCcos(AB)cos(AB)(cosAcosBsinAsinB) .(32513 121213) 12 5326 凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室联系电话：025-83657815Mail ：例 2解：(1) 当 a0 时，原不等式化为x10， x1.(2) 当 a0 时，原不等式化为 a(x1) 0，(x 1a) 若 a0，则原不等式化为(x1) 0，(x 1a) 0， 1， 不等式解为 x 或 x1.1a 1a 1a 若 a0，则原
13、不等式化为(x1) 0.(x 1a)() 当 a1 时， 1，不等式解为 x1；1a 1a() 当 a1 时， 1，不等式解为 ；1a() 当 0a1 时， 1，不等式解为 1x .1a 1a综上所述，得原不等式的解集为：当 a0 时，解集为 ；当 a0 时，解集为x|x1 ；xx 1a或 x 1当 0a1 时，解集为 ；当 a1 时，解集为 ；x1 x 1a当 a1 时，解集为 .x1a x 1变式训练解关于 x 的不等式 1(aR 且 a1)ax 1x 2解：原不等式可化为： 0，a 1x 2 ax 2 当 a1 时，原不等式与 (x2) 0 同解(x a 2a 1)由于 1 12，a 2a 1 1a 1 原不等式的解为 (2，) ( ，a 2a 1) 当 a1 时，原不等式与 (x2) 0 同解(x a 2a 1)由于 1 ，a 2a 1 1a 1若 a0， 1 2，解集为 ；a 2a 1 1a 1 (a 2a 1，2)若 a0 时， 1 2，解集为 ；a 2a 1 1a 1
