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1、第一部分 信号处理与分析,第五章离散时间傅里叶变换,2018/1/23,2,第五章 离散时间傅里叶变换,主要思想：1）离散时间傅里叶变换的生成与连续时间傅里叶变换的生成类似，即将非周期信号看成是具有无限长周期的周期信号，然后利用周期信号的傅里叶级数得到傅里叶变换；2）离散时间傅里叶变换与连续时间傅里叶变换的不同，根本原因在于成谐波关系的一组复指数周期信号之间的不同：连续时间：离散时间：,2018/1/23,3,5.1 非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换1.非周期信号傅立叶变换表示的导出周期方波序列,周期为N,在一个周期内其傅立叶级数系数为,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,4,
2、则有事实上，上面的数值可以看成一个包络函数的样本（抽样点），即若 固定， 的包络与 无关。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,5,周期方波序列,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,6,考虑一个信号 ，它具有有限持续期 ；即存在 ，使得 当 ， 。则可以构造一个周期信号 ，使得 是 的一个周期，其基波周期为 ，基波频率为 。当 越大时， 与 相同的部分越多，即有,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,7,第五章 离散时间傅里叶变换,可以得到 的傅里叶级数表示事实上，有因此可以得到 的包络 以 为周期则有,2018/1/23,8,将周期信号 用包络函数 表示，有
3、当 时， ，则有其中称 为 的傅立叶变换（或傅立叶积分）。通常的，一个非周期信号 的变换 称为 的频谱。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,9,2.离散时间傅里叶变换的收敛性要保证上式收敛，只要满足 或 而对于反变换积分区间有限，不存在收敛性问题。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,10,比较： 连续时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换连续，非周期的 连续，以 周期 低频分量在 附近 低频分量在 附近 高频分量在 附近 高频分量在 附近无限积分区间 有限积分区间,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,11,2. 几个常见信号的傅立叶变换例1 信号则可以得到其
4、频谱为：则可以计算其模和相位角。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,12,当a取不同的值时，信号的频谱的表现：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,13,连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,14,例2 矩形脉冲序列其傅立叶变换为(参考习题1.54)它的反变换所得到的信号，同周期方波的傅立叶级数的收敛情况相同，不存在吉伯斯现象。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,15,矩形脉冲序列及其离散傅立叶变换的表现：(尺度性质）,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,16,连续傅立叶变换与离散傅里叶变换
5、：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,17,5.2 周期信号的傅立叶变换思路：将冲激函数引入到傅立叶变换中。考虑单位脉冲序列的傅里叶变换：它的反变换为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,18,考虑序列 的傅里叶变换：按照通常的求和，上式没有意义。考虑其物理意义，表明该信号低频分量丰富，应该没有高频分量。按照离散信号的低频分量在 的整数倍附近，则可以定义 的傅里叶变换为,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,19,在连续时间傅里叶变换中，引进冲激函数关系式：在离散时间傅列叶变换中，引进冲激序列关系式为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,20
6、,对于任意的离散时间周期信号，有傅里叶级数展开式为：则按照上面的定义可以得到其傅里叶变换为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,21,利用 的周期性，可以得到傅里叶变换为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,22,例1 考虑周期信号所以傅里叶变换为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,23,例2 考虑周期冲激串序列则可以计算其傅里叶级数系数：所以傅里叶变换为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,24,5.3 离散时间傅里叶变换的性质 离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,25,离散时间傅里
7、叶变换 连续时间傅里叶变换线性性质（略）时移、频移性质共轭对称性,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,26,离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换4. 差分与累加微分与积分,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,27,离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换时间反转 时域扩展 尺度性质,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,28,离散时间傅里叶变换6. 时域扩展,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,29,离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换7. 帕斯瓦尔定理,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,30,离散时间傅里叶变换 连续时间傅里叶变换
8、5.4(8). 卷积性质5.5(9). 调制（相乘）性质 周期卷积,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,31,例 1 离散时间理想低通滤波器同样，该系统不具有因果性。对比另一对离散傅立叶变换对：没有对偶性。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,32,例 2 考虑下图所示系统，试分析此系统的作用。 截止频率为 的低通滤波器。1）2）3）,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,33,因为所以有：因为 是截止频率为 的低通滤波器，所以 是一个高通滤波器；因此整个系统既通过高频，又通过低频，只是频率在 之间的不能通过。,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,
9、34,离散时间傅里叶变换性质1. 2.3. 4.5.,2018/1/23,35,离散时间傅里叶变换性质6.,2018/1/23,36,离散时间基本傅立叶变换对,2018/1/23,37,离散时间基本傅立叶变换对1.2.,2018/1/23,38,离散时间基本傅立叶变换对3.,2018/1/23,39,5.7 对偶性连续时间傅立叶变换的对偶性 若 则 或,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,40,2. 离散时间傅立叶级数的对偶性若 即将上面两式改写为所以,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,41,3. 离散时间傅立叶变换和连续傅立叶级数之间的对偶性例,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,42,5.8 由常系数差分方程表征的系统一个LTI系统，表示成N阶差分方程：则利用离散时间傅立叶变换的卷积性质和差分性质，则有系统的频率响应为,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,43,例 一个LTI 系统，其差分方程为若系统输入为试计算系统的输出。解：系统的频率响应为：,第五章 离散时间傅里叶变换,2018/1/23,44,输出的傅立叶变换为：利用待定系数法可以确定上面的三个常数。,
