数学与应用数学本科毕业论文-凸函数在不等式证明中的应用

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1、专业代码：学 号：0贵 州 师 范 大 学（本 科）毕 业 论 文题 目：凸函数在不等式证明中的应用学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2008 级姓 名： 指导教师：完成时间：2012 年 3月 12日凸函数在不等式证明中的应用摘要： 凸函数是一种性质特殊的函数. 凸函数也是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用. 利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法简洁，在文中还进一步探讨了在不等式证明中的一些具体应用.关键词： 凸函数 不等式 证明Abstract：Convex function is a function of the specia

2、l nature. Convex function is also one of the higher mathematics the basic contents, it proved more complex in the plays a major role in inequality. Use the convex function to study convex inequality than the traditional method is simple, and further discussed in this paper in some of the specific ap

3、plication of inequation.Key words： convex function inequalities proveing在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类性质特殊的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用. 凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在 50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的. 现行高等数学教材中,也都对函

4、数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.1. 凸函数定义与等价描述1.1 凸函数的几种定义以及它们的关系大家都熟悉函数 的图象，它的特点是：曲线 上任意两点间2)(xf2xy的弧总在这两点连线的下方. 我们可以下这样的定义：设 在 上有定义，)(f,ba若曲线 上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，

5、则称函数)(xfy是凸函数. )(f上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的. 下面给出几种常用的凸函数定义：定义 11 设 在区间 上有定义， 在 上称为是凸函数，当且仅当：)(xfI)(xfI， ，有 . ()Ix2,1,0 )(1)(1( 22xfxff 若()式中， “ ”改为“” ，则是严格凸函数的定义. 若“ ”改为 “ ”或“” ，则分别是凹函数与严格凹函数的定义. 由于凸与凹是对偶的概念. 对一个有什么结论，对另一个亦有什么结论. 因此，下文中只对凸函数进行论述.定义 22 设 在区间 上有定义， 称为 上的凸函数，当且仅当：)(

6、xfI)(xfI，有 .Ix1, 2)(211f定义 32 在区间 上有定义， 称为是凸函数，当且仅当：)(fI)(xf，有 .xn,21L nxfxffnxf n)()(2121 LL关于定义 1，定义 2，定义 3有如下的关系：(1) 定义 1 定义 2, 定义 1 定义 3；(2) 定义 2 定义 3；(3) 当 在 上连续时，定义 1、定义 2、定义 3等价.)(xfI证明：(2) 定义 2 定义 3.（由于定义 3 定义 2明显，故只要证明定义 2 定义 3. 应用通常的数学归纳法有一定的困难，因此这里采用反向数学归纳法，其要点是：首先证明对于自然数的某个子序列成立(本证明针对于 皆

7、成立)，其次kn,1(L证明命题当 成立时，必然对 成立.）1knk当 时，显然成立.2当 时，4 24431321 xxfxf2431xfxf4)()(431xffxff一般来说，对任一自然数 ，重复上面的方法 次可得kkkk kk xfxffxxf 2)()(22121 LL这说明对一切的 皆成立.n记 ，则 ，所以kxxAkL21 kAxL2121Ak由定义 3中式子对 成立，故kn1)()(1)( 2121 kAfxfxffxxfAf kLL在不等式两边同时乘以 ，减去 ，最后除以 得到k)(Afkxfxfxxf kk )()(2121 LL即 时仍成立. 证毕.kn证明：(3)若 在

8、 上连续，则定义 1、2、3 等价.)(xfI首先定义 1 定义 2、3.在定义 1中令 ，则有Ix21, 2)()()()()2( 12121 xffxffxfxf 故定义 1蕴涵定义 2，而定义 2、3 等价，因此定义 1也蕴涵定义 3.其次定义 2、3 定义 1.设 为任意两点，为了证明定义 1对任意实数 成立，则先Ix1, ),0(证明当 为有理数 ( 为自然数)时成立，事实上：)1,0nmn nxmfxmxfxf 212121 )(1122+()nf64784L个 个1122)()()mnmfxfxffx678L个 个 nxfmxf)()21)()(21ff为有理数的情况获证.若 为

9、无理数，则 有理数)1,0(),0(n),1L使得 (当 时)，从而由 的连续性有nxf )(1( 212limxxf nnxfn对于有理数 ，上面已证明有)1,0(n )(1()( 22 xfxfxf nnnn 此式中令 取极限，联系上式，有)()()1( 212fff即定义 1对任意无理数 也成立. 这就证明了定义 2、3 蕴涵定义 1.,0注：上述证明里看到从定义 1 定义 2、3 无需连续性，定义 2、3 定义1才需要连续性. 可见定义 1强于定义 2、3.1.2 凸函数的等价描述定理 13 如图 1.2.1，设 在区间 上有定义，则以下条件等价（其中各不)(xfI等式要求对任意 ，

10、保持成立）：Ix321, 321) 在 上为凸函数；)(xfI） ；1312 )()xfff） ；2313 )()(xffxff ） ；2312 )()(ffff）曲线 上三点 ， ， 所围的有向面积)(xf )(,1xfA)(,2xfB)(,3xfC.0)(2321xf证明：1(证明)与）等价).对 中任意 ，根据凸函数定义，条件）等价于I31x(A)(1)()( 3xfxff 另一方面，将条件）中的不等式乘以 ，移项变形，可知它等价于2(B)()()( 13132 xfxfxf 可见， ，令 时，则),(312x13213221313213)( xxxx从而由(A) 可推到 (B) .反之

11、， ，若令 则 ，),0(132)(132x从而可由(B)推得( A) . 故 )与）等价.2类似可证） 、）与)等价.3(证明 ）与）等价) 将）中的不等式乘以 并移项，可得)(1312xx0)()( 31223 xfffx此即.0)(1321xff推论 2 若 在区间 上为凸函数，则 上任意三点 有)(xfII321x .231312 )()()( xffxffxff 定理 21 设 为区间 上的可导函数，则下述论断互相等价：)(fI1 为 上的凸函数；xI2 为 上的增函数；f3对 上的任意两点 有21,x.)()(1211xfff 定理 32 设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为

12、凸函数的充要)(xfI I(f条件是 ， .0f定理 43 若 在 上有定义，则以下命题等价：(1) 在 上为凸函数；)(xfI(2) , , ,有iq121nqLIxn,2L；)()()() nxfqfqfxf (3) ,且 不全为零， ,有0i ,(i I,21.nn qqfxffqqxf LL21121 )()()(证明：(2) (1)，只要令 即可.(2) (3)是明显的.2现用数学归纳法证明(1) (2).当 时，由凸函数的定义可得(2)成立.n假设 时，(2)成立.k当 时，不妨设 ，110kq 1121121 )()( kkkkkk xqqxfxxqf LL)()( 11211

13、kkkk xfqqf )()()()()( 1121211 kkkkkk xfqffxfqL21 kxfqffxfL即当 时(2)也成立.n综上所述，对任何自然数 ， 为凸函数时总有(2)成立.n)(f1.3 凸函数的简单性质 4性质 1 设 在区间 上为凸函数，对任意的 ，则 在区间 上为凸)(xfI 0k)(xfI函数.性质 2 设 ， 是区间 上的凸函数，则 也是 上的凸函数.fg)(gxf性质 3 设 ， 是区间 上的凸函数，则线性组合的函数)(xI )()(21xgkf为 上的凸函数.0,(21kI性质 4 若设 ， 是区间 上的凸函数，则 为 上的凸函f)( ),(maxfI数.性

14、质 5 设 是单调递增的凸函数， 是凸函数，则复合函数)(ug)(xfu)(xfg也是凸函数.1.4 常见的凸函数 51.3.1 或 ， 均为 内的严格凸函数；kxf)()0)(k)ln(xf),01.3.2 均为 内的严格凸函数.2,1lncxfe2. 凸函数的不等式2.1 凸函数基本不等式 5设 是 内的凸函数，则对 内的任意一组值 ，必有不等式：)(xfII nx,21L.nfxffnxf )()(2121 L2.2 Jensen 不等式 6Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷. 定理 4中命题(2)就是著名的 Jensen不等式. 在 Jensen不等式中令就得到了定义 3. nqi1),2(nLJensen 不等式 设 是 内的凸函数，则对 内的 ,且)(xfII0iq不全为零， ,有),(i n,21L.nn qqxfxffqqxxf L21121 )()()(2.3 Hadamard 不等式 6设 是区间 上的凸函数，则对于 ，有)(xf,ba bxa21.21 )()(221x ffdfxf3.凸函数在不等式证明中的简单应用3.1 凸函数在一般不等式证明中的应用例 14 设 为正数，且 ，证明： .cba, 1cba