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1、 12999 数学网 12999 数学网考点规范练 43空间向量及其运算基础巩固1.若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b,d=a+b(,R,且 0),则( )A.cdB.cdC.c 不平行于 d,c 也不垂直于 dD.以上三种情况均有可能2.已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若 ab,则 与 的值可以是 ( )A.2, B.-C.-3,2 D.2,23.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a(a-b),则实数 的值为( )A.-2 B.- C. D.24.已知 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足= 0,=0,=0,M 为 BC 的中点,则AMD
2、 是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定5.下列命题: 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.36.在空间四边形 ABCD 中,则的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.27.已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 的夹角为 60的是( )A.(
3、-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)8.若平面 , 的法向量分别为 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A. B.C., 相交但不垂直 D.以上均不正确9.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA 1底面 ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 . 10.已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当最小时,点 Q 的坐标是 . 12999 数学网 12999 数学网如
4、图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为BC 1D 的重心,求证:(1)A1,G,C 三点共线;(2)A1C平面 BC1D.能力提升12.在平行六面体 ABCD-ABCD中,若=x+2y-3z,则 x+y+z=( )A.1 B. C. D. 导学号3727035513.(2016 西安质检)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是BC,AD 的中点,则的值为( )A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 导学号3727035614.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直 ,动点 M 在线段 PQ 上,
5、E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ,则 cos 的最大值为 . 导学号 37270357高考预测15.如图所示的直三棱柱 ABC-A1B1C1,在其底面 ABC 中,CA=CB=1,BCA=90,棱 AA1=2,M,N分别是 A1B1,A1A 的中点.(1)求的模;(2)求 cos的值 ; 12999 数学网 12999 数学网(3)求证:A 1BC 1M.参考答案考点规范练 43空间向量及其运算1.B 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面.d=a+b,d 与 a,b 共面.cd.2.A 解析 ab ,存在 k R,使 b=ka,即(6,2
6、- 1,2)=k(+1,0,2),解得3.D 解析 由题意知 a(a-b)=0,即 a2-ab=0,14-7= 0.=2.4.C 解析 M 为 BC 的中点 ,).)=0.AMAD ,AMD 为直角三角形.5.A 解析 若 a 与 b 共线,则 a,b 所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的定义知,空间任两个向量 a,b 都共面,故不正确;三个向量 a,b,c 中任两个一定共面 ,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故不正确,综上可知,四个命题中正确的个数为 0,故选 A.6.B解析 (方法一)如图,令=a
7、,=b,=c ,则()+()+()= a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.(方法二) 在三棱锥 A-BCD 中, 不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,=0,=0,=0.故=0.7.B 解析 对于选项 B,设 b=(1,-1,0), 12999 数学网 12999 数学网则 cos=因为 0180,所以=60,故选 B.8.C 解析 n 1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0,n 1 与 n2 不垂直.又-,n 1 与 n2 也不共线. 与 相交但不垂直 .9.60 解析 以 BC,BA,BB1 所在的直线为 x 轴,y 轴,z
8、 轴,建立空间直角坐标系,如图.设 AB=BC=AA1=2,则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则=(0, -1,1),=(2,0,2),=2,cos=,EF 和 BC1 所成的角为 60.10 解析 设=( ,2),则=(1 -,2-,3-2),=(2-,1-,2-2).故=(1 -)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6所以当 =时,取得最小值 -,此时所以点 Q 的坐标是11.证明 (1),可以证明)=,即 A1,G,C 三点共线.(2)设=a,=b,= c,则|a|=|b|=|c|=a ,且 ab=bc=ca=0,=a+b+c,=
9、c-a,=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0.因此,即 CA1BC 1.同理 CA1BD,又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两条相交直线,故 A1C平面 BC1D.12.B 解析 =x+2y-3z,x= 1,y=,z=-,x+y+z=1+13.C 12999 数学网 12999 数学网解析 如图,设=a,=b ,=c,则|a|=|b|=|c|=a ,且 a,b,c 三个向量两两的夹角为 60.(a+b),c,(a+b)c=(ac+bc)=(a2cos 60+a2cos 60)=a2.14 解析 以 A 为坐标原点 ,射线 AB,AD,AQ 分别为 x 轴 ,y 轴,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 2,则 E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0y2) .所以=(2,1,0),=(- 1,y,2).所以=-2+y ,|=,|=所以 cos =令 2-y=t,则 y=2-t,且 t 0,2.所以 cos =当 t=0 时,cos =0.当 t0 时,cos =,由 t(0,2,得,所以所以 0=(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2),M=(-1,1,-2),=-+0=0.,A 1BC 1M.
