《2017挑战中考数学压轴试题1.1因动点产生的相似三角形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017挑战中考数学压轴试题1.1因动点产生的相似三角形问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求 ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程ABDECF应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，
2、如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减图 1例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题二次函数 yax 2bxc（a 0）的图象与
3、 x 轴交于 A(3, 0)、B (1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0,3m)（m0） ，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ；（2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到AC 的中点的正下方时，APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点
4、运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD 和ADC 都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP，APC 可以割补为：AOP 与COP 的和，再减去AOC3讨论ACD 与OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形 ACD 存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，设 ya(x3)(x1) 代入点 C(0,3m)，得3m3a解得 am所以该二次函数的解析式为 ym (x3)( x1) mx 22mx3m （2）如图 3，连结 OP当 m2 时，C(0,6)，y 2 x24x6，那么
5、P(x, 2x24 x6)由于 SAOP (2x24x6)3x 26x9， 1()POASCOP 3x，S AOC 9，1()2POC所以 SS APC S AOP S COP S AOC 3x 29x 237()4所以当 时，S 取得最大值，最大值为 x74图 3 图 4 图 5（3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F由 ym(x3)( x1)m(x 1) 24m ，得 D(1,4m )在 Rt OBC 中， OBOC13m如果ADC 与OBC 相似，那么ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图 4，当ACD90时， 所以
6、解得 m1OACE3此时 ， 所以 所以 CDAOBC3CAODEBDB如图 5，当ADC90时， 所以 解得 FC4212此时 ，而 因此DCA 与OBC 不相似2AFCEm3OmB综上所述，当 m1 时，CDA OBC考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H由直线 AC：y 2x6，可得 H(x,2x 6) 又因为 P(x, 2x24x 6)，所以 HP2x 26x因为PAH 与PCH 有公共底边 HP，高的和为A、C 两点间的水平距离 3，所以SS APC S APH S CPH (2x 26 x)3 图 674例 2 2014 年湖南省
7、益阳市中考第 21 题如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 APx21cnjy（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为S1、S 2，若 SS 1S 2，求 S 的最小值. 动感体验 图 1请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线
8、段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP为自变量，求 S 的函数关系式图文解析（1）如图 2，作 CHAB 于 H，那么 ADCH在 Rt BCH 中， B60，BC 4，所以 BH2，CH 所以 AD 323（2）因为APD 是直角三角形，如果APD 与PCB 相似，那么P
9、CB 一定是直角三角形如图 3，当CPB90时，AP1028所以 ，而 此时APD 与PCB 不相似APD43PCB3图 2 图 3 图 4如图 4，当BCP90时，BP2BC 8所以 AP2所以 所以 APD60此时APDCBP APD3综上所述，当 x2 时，APDCBP（3）如图 5，设ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2m作 OMBP 于 M，那么 BMPM 5m 在 Rt BEF 中，BE 2，B 60，所以 BF4在 Rt O
10、FM 中，FM BF BM4(5 m) m 1，OFM30，所以 OM 3(1)所以 OB2BM 2OM 2 22(5)(1)3在 Rt ADP 中，DP 2AD 2AP 2124m 2所以 GP23m 2于是 SS 1S 2(GP 2OB 2) 2135(3m2(785)所以当 时，S 取得最小值，最小值为 6713图 5 图 6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 AP2m 呢？这是因为线段 ABAP PMBMAP2BM10这样 BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上，S 关于 m 的解析式是什么？如
11、图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FMBM BF(5m)41m此时 OB2BM 2OM 2 这并不影响 S 关于 m 的解析式221(5)()3例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1，已知直线 yx 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线yx 2bx c 经过 A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的2速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时， APQ
12、 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作QF/y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形与以O、B 、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1动感体验请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，MBQ 与BOP 有一次机会相似思路点拨1在APQ 中
13、，A 45，夹A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PEQF 列方程就好了3MBQ 与BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 yx 3，得 A(3, 0)，B(0, 3)将 A(3, 0)、B (0, 3)分别代入 yx 2bxc ，得 解得930,.bc2,3.bc所以抛物线的解析式为 yx 22x 3（2）在APQ 中，PAQ 45，AP 3t，AQ t2分两种情况讨论直角三角形 APQ：当PQA90时，AP AQ解方程 3t 2t，得 t1（如图 2） 2当QPA90时，AQ AP解方程 t (3t)，得 t1.5（如图 3） 图 2 图 3（3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形所以 EPFQ 所以 yEy P yFy Q因为 xPt，x Q3t，所以 yE3t ，y Qt，y F(3t) 22(3t)3t 24t 因为 yEy Py Fy Q，解方程 3t(t 2
