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2、32.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用 .52.1行列式按行（列）展开定理 .52.2代数余子式的应用 .73.行列式的计算 .93.1关于 n阶行列式的计算 .93.2抽象行列式的计算 .154行列式理论的应用 .184.1范德蒙行列式 .184.2范德蒙行列式在计算行列式中的应用 .194.3一类 阶实方阵行列式的应用 .21n4.4行列式在多项式理论中的应用 .234.5在线性变换理论中的应用 .24参考文献 .26致谢 .271浅谈行列式摘 要：行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法。行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的
3、判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用。本文总结了行列式的定义和性质，讨论了不同类型的行列式的计算方法，给出了行列式在线性代数理论中的应用。关键词：行列式;范德蒙行列式；线性变换.Introduction to the determinantAbstract: The determinant is an important component of the theory of algebra。The general method of calculating the determinant does not exist,and 2different determinates have dif
4、ferent computing method。The theory of determinant is used widely in the solution of linear equations, the judgment of the linear correlation, the theory of the the linear space, and the linear transformation,etc。The paper summarizes the definition and properties of determinant ,discuss the computing
5、 methods about different types of determinants, and gives the applications of determinant in linear algebra theory。Key word:Determinant; Vandermonder determinant; Linear transformation。 引言行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论
6、，还是在微积分学中（比如说换元积分法中） ，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。1.行列式及性质31.1行列式定义 1 n级行列式 等于所有取自不同行不同列的 n个121212nnnaaLM元素的乘积 12njjaL（1）的代数和，这
7、里 是 的一个排列，每一项（1）都按下列规12,nL则带有符号：当 是偶排列时， （1）都带有正号，当 是奇排列时，nj 12njL（1）带有负号.这一定义可写成,这里 表示对所有 n级121212nnnaaLM121212()nnnjjjj aLL 12njL排列求和。1.2行列式的性质性质 1 行列互换，行列式不变。即12212nnnaaLM121212nnnaLM性质 2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外。即11221nnnaakkLM121212nnnaLM性质 3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以4写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分
8、别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同.即 112112nnnnaabcbcaaLML12112nnnabaLML12112nnnaaccaaLML性质 4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.即，其中第 行与第 行相同，即 , 。121120niiikknnaaaaMLLikijkja12,nL性质 5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零。即12112niiiiiinnaakakaMLL121120niiiiiinnaaLML这里的第一步是根据性质 ，第二步是根据性质 。24性质 6 某行（列）的倍数加到另一行（列） ，行列式的值不变。即5112112nikiki
9、kkkknnnaaccaaLMML12112niiikknnaaLML12112kknkknnaaccaaMLL12112iiinkknnaaMLL这里第一步是根据性质 ，第二步是根据性质 。35性质 7 对换两行（列）的位置，行列式的值变号。即=12112niiikknnaaaaLML112112nikikikkkknnnaaaaLMML= =112112ikikinkii innnaaaaMMLL12112nkkiiinnaaMLL612112nkkiiinnaaaaLML这里，第一步是把第 行加到第 行，第二步是把第 行的 倍加到第 行，kii(1)k第三步是把第 行加到第 行，最后再把
10、第 行的公因式 提出.ik2.行列式按行（列）展开及代数余子式的应用2.1行列式按行（列）展开定理定义 1 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行第 列的元素划去后剩下nijaij的元素按照原位置次序构成的 阶行列式，称为元素 的余子式，记为 ，1nijaijM即11,1, 1,j, ,1111,j,jjniiijinnnnjaaaa LLMMLL定义 2 (1)称为元素 的代数余子式(1)ijijiAMija证明：我们先由行列式的定义证明 阶行列式与 阶行列式的下面这个关系，n1n7= (2)121,1221,21,1,00nnnnnaaLMML121,21,21,nnnaaLM事实上， （2
11、）左端行列式的展开式 中，只有121212()nnnjjjj aLL的项才可能不为零，而 ，因之左端为njna，显然 是 的排列，且121212()1,jnjjnaLL 121nj,1L= 。这就证明了 式。为了证明(1)式，令1()()n()， 即得1,10iijijiaaLija1,1,11,1, ,1,1,11, ,00jjjniijijijiijiijijijinnnjnjjaaaAaaa LMMLL11,1,11, ,11111, ,()00jjjniijijijin nnnjnjjaaaa LLMMLL811,1,11, ,()nj11111, ,00jjjniijijijii n
12、nnjnjjaaaaaa LLMMLL2()1(1)nijijiiM定理 设 , 表示元素 的代数余子式，则下列公式21122nnnaadLijAija成立： 1 0kikikidkiaAa12ljljnljljL2.2代数余子式的应用在求一个行列式某一行元素代数余子式之和时，逐个计算再求和，运算量很大，此时借助行列式中改变某一元素的值不影响该元素代数余子式的值这一特点，将该行元素都化为 ，如此得到的行列式即如上要求的值。1例 1 设 ，且 是 中第 i行，j 列元素 的代数余子53426AijAija式。（1） 求 31234A9解 31234153462A例 1 已知 阶行列式513451
13、24350D求（1） 3123A（2） 45解 因为 （ ）所以取1323343530iiiiiaaAa,15iNi得 ,i()()3123345联立解之得 3450A例 2 设 中元素均为实数，而且至少有一个不是 ，如果 的每个ijnDa 0D元素都等于它的代数余子式，则 。21nD证明 记 ， 表示 的转置行列式.因为 的每个元素都等于它的代DA D数余子式，所以有 ,因此 。又由题*2 nO设，可不妨设 ，因为 ， .所以0ijaijijaA,12,nL21210niiiijDAL10所以 。21nD3.行列式的计算3.1关于 n阶行列式的计算行列式计算方法很多，在学习过程中要学会观察、探索，并有
