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1、无线信道条件下的基于小波包变换的 OFDM系统摘要这篇文章的主要目的是通过用一些正交小波代替 OFDM 系统中的复指数载波来改善抗干扰能力。这些小波函数来源于 Haar和 Daubechies 正交镜像滤波器组(QMF)。相对于传统的 OFDM 系统，本文研究发现 Haar 和 Daubechies 正交小波函数能够降低通过多径无线信道时由于载波间正交性降低而引起的符号间干扰(ISI)和载波间干扰(ICI)。关键词：小波包；OFDM；ICI；ISI1. 引言小波理论是由 Meyer、Malla 和 Daubechies 等奠基，在二十世纪八十年代兴起，九十年代才进入全面应用的新兴理论。它是傅立
2、叶分析划时代的发展结果，是继傅立叶变换后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因而有“数学显微镜”的美誉。利用小波进行的时-频分析、多分辨分析具有很好的效果，2使得小波在信号处理（特别是图像信号处理）得以广泛的应用。而小波函数提供的一系列正交基，非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。第三代移动通信系统为实现大容量、高速率，适用于各种环境的多媒体业务必然采用宽带高速率信号传输，但多径干扰、频率选
3、择性衰落及符号间干扰 ISI 成为传输宽带高速信号的主要障碍，采用多载波调制（Multi-Carrier Modulation）可以解决上述问题。多载波技术的基本原理是将高速串行数据经过串、并变换后，并行的分配到各个相互正交的子载波上，如果把正交变换基函数作为子载波，则调制/解调实际上是正交基的反/正变换。多载波系统的发射信号可由以下的通用公式表示，即 10)()()(Nkii Ttxtst 式中 N 是子载波的个数； 是输入序列； 是子载波基函ikxiti数。应该注意的是，不同基函数 的选择就代表不同的多)(iTti载波技术：当 是正弦或余弦函数时，这个系统是传统的)(iTtiOFDM。当是
4、小波包基函数时，这个系统是基于小波包的多载波系统。32. 正交小波函数的结构首先介绍一下 db4 小波的特点。图 1 db4 小波的尺度函数与母小波函数图 2 db4 小波包函数的波形及自相关函数波形4图 3 db4 小波包函数的互相关函数波形由 db4 小波包函数的自相关函数图可以看出，假设小波包函数的时域长度为 7 个单位，那么小波包函数仅在前 2/7 时长内有起伏，其余时间为 0。而在 1/7、2/7 点处均近似为 0，在MATLAB6.5 中 db4 小波包函数为一个 的向量，因此可以令189(取整)。下表为 db4 小波包函数的自相关及8912.587ST互相关函数在 处的函数值。s
5、T表 1 db4 小波包函数的内积表(),)ijswt()wt2()t3()wt4()t1sT0. 0. 6.9826e-0063.9601e-0062()swt0. 2.2846e- 2.6701e- 4.2819e-5007 008 0053()swtT4.193e-0065.2899e-0072.4705e-0085.3504e-0114()st3.864e-0097.7006e-0105.335e-0111.3094e-013正交小波可以被如下两个方程描述： (1)()()/2)*/.*/2.*()kkkjkhngngngn()()1MMjM其中，k-j 是非负整数， 且 M 是子载波
6、的个数。,0,1.kjg(n)和 h(n)分别为完全重构正交镜像滤波器组(QMF)的低通滤波器和高通滤波器系数，它们被用来构成正交小波， 来自()khn正交镜像滤波器组的树结构。高通滤波器可通过如下关系由低通滤波器生成： ，L 是数据序列的长度。小波()1()nhg函数的正交性通过 表现出来，其中,2()jnkjmkj代表内积， 是狄拉克函数且 为正整数，将在下面讲到。.j60V1, 1,22,1V2,V2,32,4V3,13,23, 3,4图 4 小波包树型分解结构3. 系统模型OFDM 是基于 DFT 的，它的正交性只体现在频域上。而小波变换将信号在时间和频率两个域上进行分解， kjkjt
7、atf)()(,其中 j 和 k 分别为尺度（频率）参量和时间参量。参考 OFDM 的调制方式，小波则亦可用于多载波调制，其中 可看作调制的kja,数字信号，各子载波不但在频域上正交，在时间域上也具有正交性。以此为出发点，借助小波理论中存在的丰富的正交性，可以将小波多载波调制进一步推广。小波包变换及反变换又称小波包分解和综合。利用小波包的分解和综合，可将高分辨率的信号 分解为低分辨率的逼近)(tf7信号与细节信号，反之也可以根据逼近信号与细节信号恢复出信号 。)(tf由多分辨分析理论（MRA） ，二进离散小波变换中的尺度函数 和小波函数 满足：t)(tnZnth),2()gt)()1()nNh
8、n其中 、 是滤波器组中低通和高通滤波器的离散冲激响应：)(nhgN 是冲激响应序列的长度。为了改善小波对时频局部化的性能，定义了类似上述公式的递归函数序列： nmmntuhu)2()2g1这里， ， ，称为小波包。小波包具有两条基本的)(0tu)(1t性质：第一性质：平移正交性；Zlnltuntmm),()(),(,0第二性质：相邻正交性；llttm),(0)(),(,122每个小波包函数具有非零平移正交性，该性质可用来消除ISI；小波包函数的相邻正交性可用来抑制 ICI。基于小波的多载波系统分为 3 类，分别是基于多尺度调制（MSM）、M 频带小波调制（MWM）、小波包调制（WPM）的多载
9、8波技术。MSM 和 MWM 是由 W.W.Jones 最早提出来的，基于 MSM的多载波技术是将标准的小波基作为子载波的基函数，实现中首先进行标准的小波反变换来构造信号，这与传统的 OFDM 是一致的。MSM 的优点是可以实现非均匀的信道分割，容易实现多速率分配。缺点是在所用的高频部分具有大的带宽，这与信道不一定会匹配。基于 MWM 的多载波技术是将固定尺度的小波包基作为子载波的基函数，它类似于传统的 OFDM，每个子信道的带宽是均匀的，子信道带宽的大小是由分解的层次决定。WPM是 A.R. Lindsey 对 MSM 和 MWM 的归纳和概括，它更具一般性和灵活性。基于 WPM 的多载波技
10、术是将变尺度的小波包基作为子载波的基函数，小波包基函数的选取要和信道相匹配，可以最大程度地避免信道的干扰，同样易于实现多速率分配。WPM 自适应的选择小波包基函数有很好的抵抗噪声的干扰，而 MSM 和MWM 只能固定的选取基函数，对于抵抗干扰有很大的局限性。所以，WPM 调制无论在多速率分配还是在抗干扰方面都要优于MSM 和 MWM。4. 性能分析我们关心的是用 ISI 和 ICI 来定义的抗干扰能力，即对于一个特殊的子信道 j 来讲，当子信道 j 的发送符号的延迟波形影响到在同一信道正在传送的符号的接收时，产生了 ISI；当所有其他信道的被发送的符号的延迟波形影响到子信道 j 的正9在传送的
11、符号的检测时，产生了 ICI。因此，ISI 和 ICI 对于信道 j 来讲有如下表示： ()()()jjjprISnxhnr10()()Mj kjpjkkrjIC其中， 且*()()()jkpkj kjmhnphnhn。抗干扰能力可以从 ISI*()()()jpjj jjmhn的方差 和 ICI 的方差 中看出。2*)ISjjjEIS2*()ICjjjEI经过运算，得 22|()|ISjjpmhn1220|()|MICjjkpkj对于传统的 OFDM 系统，抽样点个数对所有子信道均相同并且 ISI 和 ICI 可以通过分别在方程(7)和(8)中替换 和 ，或jnk通过子信道个数 M 来发现。数
12、值分析表明，对于加性高斯白噪声而言，传统的 OFDM 系统与基于小波变换的多载波调制系统的性能相同。105. 仿真结果图 5 平均 ICI 功率11图 6 平均 ISI 功率为比较两种多载波调制系统通过同一二径无线信道(一条路径为视线，另一有 T 时间的延迟，T 是输入 M 载波调制后的串行数据的符号周期)。通过对每一子信道计算 ISI 和 ICI，得出干扰的平均值。图 5 表示相对于传统的 OFDM 系统，基于小波变换的多载波调制系统的 ICI 显著降低。正如图 6 所示，尽管通过增加 QMF 的长度可以相对地降低 ICI,但同时伴随着 ISI 的少量增加。然而，图 5、图 6 说明，有些小
13、波例如 Daubechies 滤波器长度为 6 的小波在显著降低 ICI 的同时减小了 ISI，这是传统的 OFDM 系统达不到的。我们也可以看出，基于小波变换的多载波调制系统的 ICI 功率也降低了。由表 1 可得，对比于传统的 OFDM 系统，源于 Haar 正交镜像滤波器组的小波函数在同12时降低 ISI 和 ICI 方面有很好的表现。基于小波变换的多载波调制系统还有另一个有趣的特点。在传送过程中，相对于传统的 OFDM 系统的均匀分配信道，基于小波变换的多载波调制系统的传输信道带宽的分配是不均匀的。在基于小波变换的多载波调制系统中，子信道带宽有大有小。这一特点能够使此系统适合根据用户的
14、要求传送不同速率的数据。举个例子，大的子信道带宽可以用来传送高速数据例如视频信号，而小的子信道带宽可以用来传送低速数据例如声音信号。换句话说，基于小波变换的多载波调制系统可以灵活分配带宽。6. 结论本文介绍了基于小波变换的多载波调制系统及其性能，通过一个二径无线信道研究了 ISI 和 ICI 的干扰功率。仿真结果说明，对比于传统的 OFDM 系统，基于小波变换的多载波调制系统在显著降低 ICI 的同时 ISI 也轻微减小。非均匀地划分传输带宽能够使这种技术在不远的将来应用于多载波业务当中。参考文献1 小波变换与分数傅立叶变换理论及应用 ，冉启文著，哈尔滨工业大学出版社2 基于小波包变换的多载波
15、调制技术 ，霍丽萍，郝久玉，13李慧敏。 天津理工学院学报 ，第 20 卷第 4 期， 26-28，2004 年 12 月。3 小波分析及其在通信中的应用 ，刘毅睿，吕述望。上海交通大学学报 ，第 38 卷增刊，218-220，2004年 10 月。4 宽带无线通信 OFDM 技术 ，王博文，郑侃著。人民邮电出版社。5 基于小波包的多载波技术 ，李伟华，赵亚红，吴伟陵，北京邮电大学。6 基于正交小波的新型超宽带脉冲波形构造方法 ，吴宣利，沙学军，张乃通，哈尔滨工业大学通信技术研究所。待发表。7 SYMBOL TIMING RECOVERY ISSUES IN MULTICARRIER MODULATION ，Fred DaneshgaranECE Dept., Calif. State Univ., Los Angeles, (USA)。8 WAVELET OFDM ，RISHABH KASLIWAL ，NACHIKET KALE， NAHAR。14致谢在“小波理论及应用”的课程学习过程中，XXX 老师渊博的学识，精彩的讲授，耐心的排疑解惑以及灵活的教学方式都给我留下了很深刻的影响。尤其在冉老师讲授小波思想时对我的启迪，使我不光在小波课程中，甚至
