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1、目 录引言 1一、中值定理浅析 11、中值定理中的 12、中值定理中条件的分析 2二、微分中值定理的推广 41、微分中值定理在无限区间上的推广 42、中值定理矢量形式的推广 73、微分中值定理在 n 维欧式空间中的推广 94、中值定理在 n 阶行列式形式的推广 125、高阶微分中值定理 15结束语 19参考文献 191微分中值定理的研究和推广摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶
2、形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。关键词：微分中值定理，无限区间，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。2引 言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。一、中值定理浅析1、中值定理中的 由中值定理可知，当满足条件时，在开区间 内至少存在一,ab点 满足方程的结论，
3、并没有说有多少个这样的 ，也没有告诉它的 确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数 有界的条件下应用中值定理。()fx2、中值定理中条件的分析 以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的 3 个条件。 1（1）在闭区间 上连续。,ab（2）在开区间 内可导。（3） ()f这三个条件必须同时成立，缺少其中之一便不成立。例如：函数 在 上连续（如图 1） 01()xf,在 内不可导（如图 2）()fx1,（如图 3）0x(0)1f3图 1 图 2 图 3从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。例如：函数2 |1()0 xfx在闭区间
4、 上连续，在开区间 内不可导，2,2,，即罗尔定理的 3 个条件都不成立，但是在开区间(2)ff内存在一点 ，满足 ，这说明，罗尔定理的 3 个条, 0x()0fx件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在 可导，函数,ab在闭区间 上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，()fx,ab开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数 的要求更()fx加严格，即要求函数 在点 存在右导数，在点 存在左导数，从()fxab而满足中值定理的条件的函数要比原来少。例：函数 在闭区间 上连续，在开区间 内2()1fx1,1,可导，且 ，满足罗尔
5、定理的条件，因此，在开区间0内至少存在一点 ，使1,2()01f显然 =0 1,yO 1 x1yO 1 x1-1yO 1 x14但是，函数 在闭区间 上并不可导，因为导数2()1fx1,分别在 与 的左右导数都不存在。2()1fx由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数 在闭区间 上()fx,ab可导，且 ，那么，对函数 在闭区间上 就()fab2()1fx1不能用罗尔定理，这样就缩小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间 连续，在 可导，函数 在,ab,ab()fx开区间 内可导，则函数 在开区间 内连续，它被包含在,ab()fx“函数在 上连续”之中，为使这两个条件相互独立
6、，可改为在开区间 内可导，函数 在点 右连续，在点 左连续，()fx, ()fxab但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导” 。二、微分中值定理的推广1、微分中值定理在无限区间上的推广 2以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。例 1 求证：如果函数 满足()fx（1） 在区间 上连续。()fx,a（2） 在区间 上可导。（3） 。lim()xf那么在 内至少存在一点,aa使得 ()0f5证明：令 ，即1txa1()xatt当 时，0， (1)lim()tfxgt00li()li()li()()(1tt xgffaftg
7、令 则t01g所以 在 上连续，在 内可导，且 ，由罗尔定()g,1,(0)1g理知：在 内至少有一点 使得0, ()记 ，有 ，而 ，故在 内，()()0f21(,a至少有一点 ，使得a)f例 2 证明：如果函数满足（1）在区间 上连续。()（2）在区间 上可导。（3） 。lim()li()xxff则在 内至少存在一点 ，使得()()0f证明：令 则1xetln)t，与 成立t()()fxtg1 1limlilim()li()txxtgffg令 1()() t t在 上连续，在 内可导，且 ，由罗尔定gt,(1)g6理知，在 内至少存在一点 使得1,(1)，记 ，则有 ，从而有()0g()2
8、(0gf()0f例 3 已知函数 满足如下条件fx（1）在区间 上连续。,a（2）在区间 上可导。（3） 。lim()xfM求证：在 内至少有一点 ，,a()使得 2()()1)ffa证明：令 ，即1txa()xtt当 时， ， ，0()0limt()()ftgt00limlili()t xtgffM令 ()()t则 在区间 上连续，在 内可导。g,10,1由拉格朗日中值定理知，在 内至少有一点 (01)使得 ()01gl即 ()gfaM记 有()()gf而 221()故在 内至少有一点 ，,a()a使得 2(1)()ffM即 21f72、微分中值定理在 n 维欧式空间中的推广 4首先，给出几
9、个有关的记号 1212,.nnxxR设 ： ，即fn121212(,.)().()(,.)nnnnfxffxff记 i( )为集合 的内部，即集合 的内点的集合。定义 1 设 ： ，若对于任意的 , , f,()nmRxiij12.n， 存在,2.jnijx则称函数 在点 处可导f并记：112112.(). .nnnfxfffx称 为函数在点 处的导算子。()fx定理：设函数 ： ， 为 中有界闭区域 在 上连fnRnRf续，在 内可导，且 / ，则至少存在一点 ，使得()i()xC()i0f证明：因为 为有限维空间 中的有界闭区域，故 为 中紧nRnR8子集，又 在 上连续，所以 在 上有最
10、大最小值，由于 /fff，则最值中至少有一个在 内取得，设 在 处取得最C()if()i小值，则对于任意的 ， 从而 证毕。,12.jin|0jfx0根据此定理，我们来看下面几个例题。例 1 设 ： ， 为 中有界闭区域， 在 上连续fnRnRf过 内可导，且存在一点 ，使得 = ，其中 C()i nu()fx,u为常数。证明：在 内至少存在一点 ，使得 = ， （ 为 n 维()i ()fT列向量， 为 的转量， 为 与 的乘积）Tu,x证明：设 ，由已知 满足定理的条件，从而()gxfu()gx对于 来说，存在一点 ，使得 而 ，()()i0()fTu即 gfTu所以 ()所以，在 内至少
11、存在一点 ，使得i ()Tfu例 2 设 ： ， 是 中的有界闭区域， 在 上连续，fmRn f在 内可导，且存在列向量 ，使得 / C()i mu()fxT证明：至少存在一点 ，使得 =0()iT证明：设 = ，则 ： ，且满足定理的条件，故()gxfTgR可知至少存在一点 ，使得 ，即 =0)i()0Tu()f例 3 设函数 , 在闭区间 上连续，在开区间(fx,ab内可导， , 在 内不同时为零， ，证明：,ab()f)gab()g在 内至少存在一点 ，使得9()()ffbagg证明：设 ：F,2R()fxg则 在 上连续，在 内可导，取F,ab,ab()gabuf则 ，所以 在 上满足
12、定理()()()()TTufgfF,3 的条件，故至少存在一点 ，使得 ，即,ab()0Tu()()()0gabff 由于 ，所以() ffgba又因为 与 在 内不同时为零，故()fxg,a()()fbg4、中值定理在 n 阶行列式形式的推广 56在研究此推广之前先给出二个定理。定理 1 设 , 和 在 连续在 内可导，则至()fxg()hx12,a12,a少存在一点 使得：12a1222() ()0 fghf由此定理我们可以看出，当 ， 时，上述结果即为()gx()1h拉格朗日中值定理，当 ，则上述结果为柯西中值定理，因此，()1hx此定理可以看做是微分中值定理的一般形式。10定理 2：若
13、 在 上连续，在 内 n-1 阶()ifx1,2.)n1,na1,na可导， 且 则至少存在1,kna3k22.一点 ，使得121(1)12 2212() () . () . ()nnnfffafaffMM1(1)21() 0() . nnnff根据上述二定理，我们可以构造出某些特殊类型的问题。例 1 设 , 满足如下条件()ifx()ig1,23)（1） , 在 连续ii 1,a（2） , 在 内二阶可导()ifx()i,)3（3） 其中1213123g() () )0gaa123a证明，存在 使得1223,12131231232131123 () ()() () ()()() ffffaffafffggaa2 3233111 2 13233 ()()() fffg证明：设12132121313121323() ()() () () ()() ()fffaagagfffgaa230 11令12131121311 2 2() ()() () () faffagagFxkf
