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1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着路轨道设计与控制策略摘要本文主要为分阶段研究嫦娥三号的软着陆轨道设计与最优控制策略。建立模型一确定近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号速度大小与方向。首先以月球中心为坐标原点建立空间坐标系，根据计算的作用力可知地球影响较小，故忽略不计。然后将嫦娥三号软着陆看作抛物线的运动过程，计算在最大推力下的减速运动，求得月面偏移距离为 ，由此计算出偏移角度为4
2、62.4 15.25。从而得出近月点和远月点的经纬度分别为（34.76W，44.12N）和（34.76E，44.12S） 。最后在软着陆的椭圆轨道上，由动力势能和重力势能的变化，计算出嫦娥三号在远月点和近月点的速度分别为 ，1700/和 1615/沿轨道切线方向。建立模型二和模型三确定着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。模型二主要对主减速阶段和快速调整阶段进行初步分析。模型三分六个阶段确定轨道和最优控制策略，主减速阶段建立目标函数燃料 ，假设推力 最大,将最优 h燃耗软着陆问题转化为最短时间控制问题，然后采用拟牛顿法和四阶 Admas 预测-校正得到 ；快速调整阶段采用重力转弯制导，在假设
3、条件下对=1248.2嫦娥三号进行受力分析，得到嫦娥三号的动力学模型，然后通过开关控制得到燃耗最优控制，并画出仿真图；粗避障阶段采用多项式制导，通过初始状态和末端状态反解多项式系数进而求取标称轨迹，然后将避障区域网格化，比较网格内的方差大小确定最优区域范围；精避障阶段需在满足本文提出的避障原则式 下搜索全局最优解，以网格区域总体得分 作为目标函数，得到最优区域(18) 为坐标 附近，并以螺旋搜索法搜索安全半径的个数。其余阶段仅对其(544,278)做简单物理分析后绘制出六个阶段的着陆轨道。建立模型四做相应的误差分析和敏感性分析。首先以模型二为基础进行误差分析，当主减速阶段的推力 、初始质量 变
4、化时，计算嫦娥三号质量h 2和燃料消耗速率的变化趋势。再以模型三为基础进行分析，对初始高度变化2前后主减速阶段的 的偏角 和 和着陆轨道进行对比分析并计算误差。然h 1后进行敏感性分析，主要利用蒙特卡洛分析着陆轨道的粗避障阶段和精避障阶段月面不同地形高度，对嫦娥三号降落时所需调整概率大小的影响，接着分析嫦娥三号着陆占地面积大小对着陆调整概率 的影响。 关键字：抛物线、燃料 、拟牛顿法、Admas、网格化、蒙特卡洛模拟11.问题重述嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射， 12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主
5、减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满
6、足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。2.问题的分析本文所研究的问题一主要为基础计算和物理知识,首先我们需要根据预定的着陆点的经纬度确定轨道，然后通过抛物线的运动计算出在月球着陆时的水平路程，然后计算出偏移角度，据此确定近月点的经纬度，而嫦娥三号的着陆轨道为过月球中心点的椭圆轨道，所以远月点的经纬度和近月点对称，则可
7、以由近月点计算出远月点的经纬度。最后因为在着陆轨道上卫星的能量守恒，则可以通过势能和动能的转换来计算嫦娥三号的速度和方向。本文所研究的问题二主要为过程的最优控制和建立嫦娥三号软着陆轨道。因为嫦娥三号的软着陆主要分为六个阶段，所以此问应分为六个阶段来求解。主减速阶段采用燃料最优制导律来分析，建立着陆坐标系，将最优燃耗软着陆问题转化为最短时间控制问题，然后得到目标函数；快速调整阶段采用重力转弯制导，对嫦娥三号进行受力分析，得到嫦娥三号的动力学模型，然后计算出燃耗最优控制，并画出仿真图；粗避障阶段采用多项式制导，首先列出加速度、速度、位移的多项式，然后通过初始状态和末端状态反解多项式系数进而求取标称
8、轨迹；精避障阶段首先设定嫦娥三号的体型大小，然后处理数据的数量级不同，最后在整个降落区域的范围内搜索最优着陆点；由于在缓速下降和自由2落体阶段中，发动机已经关闭，故仅对其做简单物理分析。最后通过整个分析得出总的着陆轨道。本文所研究的问题三主要为着陆轨道和控制策略做误差分析和敏感度分析，需要对问题二所设计的着陆轨道和控制策略中的发动机推力、初始速度、初始高度进行误差分析。然后进行敏感度分析，即对着陆轨道的粗避障阶段和精避障阶段月面不同地形高度对嫦娥三号降落时所需调整概率大小的影响，最后分析嫦娥三号着陆占地面积大小对着陆调整概率 的影响。 3.模型的假设假设一：嫦娥三号与月球均不受其他行星及卫星的
9、影响假设二：不考虑月球绕地及其他星球的公转和月球的自转假设三：将月球近似的看做标准球体假设四：嫦娥卫星的燃料消耗主要是在着陆的主减速阶段假设五：软着陆的四、五、六阶段着陆轨迹基本在同一平面内4.符号与公式的约定和说明： G= 为引力常量，m、M 分别为两物体质量，=2 6.6710-11R 为两物体距离， 为两物体间的作用力： 为物体质量， 为物体在 作用下产生的加速度= ： 软着陆起始速度： 加速度： 平抛产生的距离： 物体的动能（ =1,2）： 物体的重力势能（hi =1,2）： 嫦娥三号的推力h： 偏好系数： 降落地点总体得分： 第 段离散段的平均加速度 由于本文使用参数和公式较多，其他
10、公式和符号在具体模型中再做说明。5.模型的建立与求解5.1 模型一的建立5.1.1 模型的假设 由万有引力公式 计算 ，再由牛顿第二定律 计算地球和月球=2 =在近月点和远月点处的重力加速度。3表 1 地球及月球在近月点和远月点的重力加速度（单位： ）/2近月点 远月点地球 0.0031 0.0024月球 1.5966 1.4523由上表可知，地球在近月点和远月点的重力加速度数值很小，即地球对嫦娥三号与月球影响很小，故可忽略不计。所以本模型只考虑月球对嫦娥三号的影响。5.1.2 模型的分析 根据附件 2 给出的软着陆过程示意图，即嫦娥三号将在近月点 15 公里处以抛物线下降，相对速度从每秒 1
11、.7 公里逐渐降为零。整个过程大概需要 750 秒，我们将其看作匀减速运动过程。利用 matlab 绘制嫦娥三号绕月飞行的三维动态图，更直观的反应嫦娥三号的环月飞行，如图 3（源程序见附录）：图 2 嫦娥三号绕月轨道坐标图 图 3 嫦娥三号环月飞行同时由附件二所给的嫦娥三号着陆区域和着陆点示意图可知，只要保证嫦娥三号的着陆区域在虹湾着陆区，则认为着陆成功。为保证嫦娥三号以最大概率降落到精准的着陆点和虹湾着陆区，经分析后得出，选择以北纬 44.12作为软着陆的绕月轨道。在这种确定纬度的绕月轨道中，月球对嫦娥三号的万有引力，可以分解为两个方向。一个是绕月的向心力，一个是与绕行面相切的力，则选择最终
12、状态为绕赤道运行更为准确。故根据实际分析，嫦娥三号的绕月平面应与南北极轴重合。图 4 嫦娥三号绕月飞行轨道分析5.1.3 模型的建立与计算4据了解，嫦娥三号主发动机是目前中国航天器上最大推力的发动机，能够产生从 1500 牛到 7500 牛的可调节推力，故可根据推力范围求取嫦娥三号的加速度范围。并用最大的加速度计算平抛产生的距离。主减速段看作平抛运动：起始速度 =1.7103 加速度的取值范围 0.6253.125 2平抛产生的距离 （=22= 462.4 =3.125 2）图 5 嫦娥三号抛物示意图由上图，并结合计算所得的抛物距离，得到准备着陆的点与软着陆点相差15.25，即可算出近月点的经
13、纬度，同时根据对称性，又可求得远月点的经纬度。由附件所给条件可知距离月球表面 15km 时，速度的大小为 ，则此1700/速度看作近月点速度，在稳定的轨道下，从近月点到远月点可看作重力势能和动能相互转换的过程，而远月点距离地球表面为 100km，可以计算重力势能的变化，即可算出远月点的速度： 2=1-(h2-h1)1=212(1)2=2222=212 -(月 (+)-月 (+)根据以上公式可得出近月点与远月点的速度（速度方向沿轨道切线方向） ，连同经纬度，如下表所示：表 6 近月点、远月点位置与速度近月点 远月点经纬度 （34.76W，44.12N） （34.76E，44.12S）速度 170
14、0/ 1615/55.2 模型二的建立5.2.1 模型的分析 本模型主要对主减速阶段和快速调整阶段进行初步分析首先分析嫦娥三号在此阶段的的受力情况，假设受力与竖直方向的夹角为 ：图 7 主减速阶段受力分析图 图 8 不考虑质量变化时的受力分析利用动量守恒定律可得：(2)7500h=11-22(3)7500 (h-(1-0h2940)=21由题目和附件可知，嫦娥三号在运行过程中有燃料的消耗，本模型分为两种情况考虑，一种为考虑质量变化，另一种为不考虑质量变化。由于主减速阶段燃料消耗很大，故作为质量变化考虑；而快速调整阶段速度很小，质量变化很小，故作为质量不变考虑。考虑质量变化（主减速阶段） ，推力大小 =h29402=1-7500h2940此阶段的燃料的消耗量为 1-2不考虑质量变化（快速调整阶段）：由于 值较小，可以通过姿态调整发动机 2进行微调,假设此阶段质量的变化较小，则可以假设质量基本保持不变。通过受力分析，可得到
