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1、摘要对小波变换的基本概念进行了简要介绍，分析了小波变换在图像压缩、图像去噪以及图像融合等方面的应用，概述了相关算法原理。以 Matlab 为平台，进行了基于小波变换的图像融合实验，并分析了实验结果。关键词：小波变换 图像压缩 图像去噪 图像融合ABSTRACTThe paper give a brief introduction of wavelet transforms basic conception and analysis the applications of wavelet transform in image compression, image denoising and im
2、age fusion. Then it introduces some algorithms about image prosessing. Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results.Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion1第 1 章
3、引言当从时域中观察一个信号时，得到的信息是信号随着时间的变化，其幅度的起起伏伏。但是，如果更进一步想研究起伏速度较快或较慢的部分，就不太容易从时域中信号的波形直接得到所需的信息。因此，需要将时域中的信号转换到频域中分析。传统的转换方式是利用傅立叶变换，然而，傅立叶变换潜在的假设了信号是平稳信号。所谓的平稳信号就是信号的规律不随时间的变化而改变，而现实生活中的信号往往是非平稳信号和平稳信号交织在一起的。另一方面，用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号全部时域的信息，也就无法通过傅立叶分析来刻画时域信号的局部特性。为解决傅立叶变换的不足，Gabor 提出在傅立叶变换中加入高斯窗函数，将窗函数沿时间
4、轴挪移，得到一系列包含时间信息的傅立叶变换结果，从而能同时分析信号的时间信息和频率信息。根据 Heisenberg 的测不准原理，窗口傅立叶变换对信号的时间定位和频率定位能力是相互矛盾的，时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，而且变换窗口没有自适应性，只适于分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。由此，引入了小波变换。顾名思义， “小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性，而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅呈正负相间的震荡形式。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函
5、数经过平移和尺度伸缩得来的。小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，且具有多分辨分析的特点。它是一种窗口大小可以改变的分析方法，可以改变其时间窗和频率窗，根据高频和低频的不同，可以使时间频率窗变窄或变宽，即：在低频部分时具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分时具有较低的频率分布率和较高的时间分辨率，非常适合于加带、瞬态、反常现象的探测正常信号中并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。2第 2 章小波变换的基本概念2.1连续小波变换给定基本小波函数 ，信号 f(t)的连续小波变换定义为：(a0,bR) (2.1)(,)=1 () ()=+() ,()
6、式(2.1)也可以表示为 ，它可以看做是求函数 f(t)在 的各尺度(,)= ,() ,()平移信号上的投影。其给出了 f(t)的一种多尺度表示，a 代表尺度因子， = 称 ,()1 ()为小波。若 a 1，则函数 具有伸展作用，a 1 时，函数具有收缩作用。因此随着参数 ()a 的变化，就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。参数 b 反映 的位移，把基本小波(母小 ()波)的函数 作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。 ()然而，小波函数 的选择既不是唯一的，也不是任意的，它应满足以下几个
7、条件： ()1）定义域应是紧支撑的，即在一个很小的区间外，函数为零，也就是函数应有速降特性。2）函数平均值为零，而函数只有在 t 轴上取值有正有负才能保证均值为零，所以函数应有震荡性。在实际应用尤其是信号处理以及图像处理的应用中，变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段，最终目的需要回到原问题的求解，因此，还要保证连续小波变换存在逆变换。对于所有的 f(t)、 (R)，连续小波逆变换由式(2.2)给出： ()2f(t)= (2.2)1 +2(,) ,()2.2离散小波变换连续小波变换往往用于理论分析，在实际应用中，需要将连续小波加以离散化才能应用于计算机中。因此，需要对尺寸参数 a 和平移参数
8、 b 进行离散化处理，设定 ，则：2,jjabkZ(2.3)/2,2()(),jj jjttkjZ定义相应的离散小波变换为：(2.4)2,(,)()(),jjf kWTjkfttdjk3其逆变换为： (2.5),()(,)fjkjkZftWTj2.3二维小波变换一维小波变换是将一维原始信号分别经过低通滤波和高通滤波以及二元下抽样得到信号的低频部分 L 和高频部分 H。根据 Mallat 算法，二维小波变换可以用一系列的一维小波变换得到。对一幅 m 行 n 列的图像，二维小波变换的过程是先对图像的每一行做一维小波变换，得到 L 和 H 两个对半部分；然后对得到的 LH 图像（仍是 m 行 n 列
9、）的每一列做一维小波变换。这样经过一级小波变换后的图像就可以分为 LL，HL ，LH ，HH 四个部分。而二级、三级以至更高级的二维小波变换则是对上一级小波变换后图像的 LL 部分再进行一级二维小波变换，是一个递归过程，从而得到塔式结构的图像，如下图所示：一个图像经过小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率也不同。高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于 0，分辨率越高，这种现象越明显。2.4多分辨分析多分辨分析又称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。其主要思想是将 L ( R )分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，该子空间序列的极限就是 L
10、 ( R )，然后将 L ( R )中的 f 函数描述为具有一系列近似函数的逼近极限，其中每一个近似函数都是 f 函数在不同分辨率子空间上的投影。通过这些投影可以分析和研究 f 函数在不同分辨率子空间上的形态和特征。类似于人的视觉系统，多分辨率分析在各尺度上可以由粗到精地逐级观察目标。利用多分辨率分析能构造 L ( R )的标准小波正交基。4第 3 章小波变换在图像处理中的应用利用小波变换进行图像处理均需要有三个基本的步骤，先通过小波变换将图像变换到频域中，再对小波系数进行相应的处理，最后对处理后的小波系数进行重构，得到处理后的图像。针对不同的应用，具体的小波系数处理过程会有所不同。3.1小波
11、变换在图像压缩中的应用经过小波变换很容易得到图像的低频部分和高频部分，图像的大部分能量一般集中于低频部分，而高频部分则反应图像的细节。因此，最简单的压缩方式，就是在小波重构时，将高频系数置 0，也可根据图像将局部区域的高频系数置 0，或者根据阈值来决定高频系数的取舍。这种方法图像细节损失严重，压缩后的图像模糊，图像信息损失严重。由于遥感数据的海量增加、保存的重要性及其应用对精度保证的要求，因而遥感数据的压缩必须满足信息保持压缩及能达到较高的压缩比这两个条件时才有意义。小波变换能提供原始图像的多尺度分解表示，而且各分辨率层上的子图像具有不同的频率特征和不同的方向取向，从而可对这些信息表示进行相应
12、的编码。图像信号的统计特征表明大幅值的系数往往集中于低频区内，这样就可以给那些小幅值系数分配很小的比特数，甚至可以不传输或存储，得到很高的压缩比和很小的失真度。通常认为遥感数据中存在有空间冗余和谱间冗余，前者表现为同一类地物相邻像素间存在的空间相关性，后者表现为相邻波段同一位置的像素之间存在相关性。因此有学者提出用遥感图像零树压缩编码算法和基于整数小波变换的压缩等方法来去除遥感数据中的冗余，达到更高的压缩比和更小的失真度。遥感图像零树压缩编码算法的原理是子代中某一小波系数不重要的时候,便认为其所有后代的小波系数都是不重要的,即形成所谓的零树。通过对零树进行编码得到压缩后的遥感影像。这种算法假设
13、不重要的小波系数其后代也不重要，事实上，对于图像边缘往往不满足假设条件，因此存在压缩影像损失边缘信息的情况。为解决这一问题，有许多人提出了改进算法，如 Said 和 Pearlman 提出的 SPIHT (Set Partitio2ning In Hierarchical Trees) 算法。基于整数小波变换的压缩方法将小波变换压缩技术中的零树编码推广到高光谱图像压缩中，其基本原理是利用高光谱图像的结构相关性，对多幅小波系数图像，只构造一幅有效图(共享有效图 ) 来确定多幅小波系数图像中非零值的位置，通过各波段零树相“与”得到共享零树，同时去除空间冗余和谱间冗余。还可以先进行 K- L 变换再
14、进行共享有效图的小波变换编码，进一步去除谱间冗余,提高压缩效率。53.2小波变换在图像去噪中的应用在图像中噪声一般表现为高频信息，并且与图像中其他信息呈弱相关或者不相关。所以消噪过程一般可按以下方法进行处理。首先对图像进行小波分解，选择小波并确定分解层次为 N，则噪声部分通常包含在高频中。然后对小波分解的高频系数进行门限阈值量化处理。最后根据小波分解的第 N 层低频系数和经过量化后的 1 N 层高频系数进行小波重构，达到消除噪声的目的，即抑制图像的噪声。基于小波分析的去噪方法大体有小波萎缩法、投影方法、相关方法等几种。小波萎缩法的出发点是较大的小波系数通常反映景物信号，而较小的系数通常反映噪声
15、。因此可以设定阈值，过滤掉噪声。阈值函数的设定决定了降噪的效果，广泛使用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。此外，还可以通过判断系数被噪声污染的程度，并为这种程度引入各种度量方法(例如概率和隶属度等 ) ，进而确定萎缩的比例，来实现去噪的目的。投影方法的原理是将带噪信号以一种迭代的方式，投影到逐步缩小的空间，由于最后的空间能更好地体现原信号的特点，所以投影方法也能够有效地区分噪声和信号。其中典型的算法是 MatchingPursuits 法，通过指定一族小波或波函数，并将带噪声信号向此函数进行投影，接着又对残差投影，并循环反复，直到残差符合一定限值。相关方法是基于信号在各层相应位置上的小波系数间往往相关、而噪声的小波系数则具有弱相关或不相关的特点来去噪。3.3小波变换在图像融合中的应用在图像融合中，小波变换的目的是将原始图像分别分解到一系列频率通道中,利用分解后的金字塔或树结构对不同分解层、不同频带进行融合处理,这种方法有助于将来自不同图像的感兴趣的细节融合在一起。针对不同类型的图像,学者们提出了各种有效的融合规则如取系数绝对值较大法、加权平均法、消除高噪声法、高低频混合双阈值法等。取系数绝对值较大法适合高频成分较丰富，亮度、对比度较高的原图像，否则在融合图像中只保留一幅图像的特征
