二面角的向量求法

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1、1漫谈向量法求解二面角台山华侨中学 梁剑平向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理:设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 21,n, l的夹角为 ，则有 （图 1）或 （图

2、2）21,n图 1 图 2基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角二. 如何求平面的一个法向量:例题 1: 如图 3，在正方体 ABCD-A1B!C1D1 中 G、E、F 分别为 AA1、AB、BC 的中点，求平面 GEF 的法向量。l2n1l1n2nDA BCA1B1C1D1图3GE Fxyz2略解：以 D 为原点建立右手空间直角坐标系，则 E(1， ,0) 、F( ，1,0) 、21G(1,0， )由此得 :21)21,0(GE)0,(FE设平面的法向量为 ,zyxn由 及 可得nF021yxEnzGyzx令 y=1 取平面的一个法向量为 )1,(n评

3、析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。三. 法向量的应用举例:例题 4. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点 Q 是 BC 的中点，求此时二面角 AA1DQ 的大小解 如图 2，建立空间直角坐标系依题意：A 1（0，0，2） ，D（0，a，0） Q（2，2，0） ，D（0，4，0） ， ),(),(1Q面 AA1D 的法向量 1n设面 A1DQ 的法向量 ，),(322a则 ,0212 3aQn,13 ),(令 a1=1，则 ， ,(2 O（A） BA1 C1B1D1D CQz y x图

4、 43 61,cos2121 n二面角的平面角为锐角Q二面角 AA1DQ 的大小为 6arcos评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算” ，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令 ，则 ， ，二面角 AA1DQ1a)2,1(2n6,cos21n的大小 是 的补角 。所以在计算之前不妨先依题1, 6arcsar意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“ 相等角

5、”或取“补角” 。 例 5 如图 5，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，AD/BC， ABC=900，SA面 ABCD，SA= ，A B=BC=1，A D= 。 求侧面2121SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小。解： 以 A 为原点如图建立空间直角坐标系，则 S（0，0， ） ， A（0，0，0） ，21B（0， 1，0） ，C （1，1，0） ，D（ ，0，0） ， )21,(),2,(SBSA，1C显然平面 SBA 的一个法向量为 =(1，0，0)，1n设平面 SCD 的一个法向量为 =(x，y，z)，则 平面 SCD22nA z yx D C BS 图 54zx ynvoA

6、BC图 7 )21(,20202 ,nzyxzSCnD 则取则 31|,cos211n评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD 与面 SBA 所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角.原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：如上图 6 所示，当我们把法向量控制成“一进一出” ，此时两法向量在三个坐标平面 的投影也xozy,可以看

7、成是“一进一出” ，这时不难得出 的夹角12nuv就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下” ， “向后或向前” ， “向左或向右”呢？如图 7 所示：平面 ABC 的法向量 nv若要法向量 的方向“向上”,可设 或nv)1,(yx ,其中 0；若要法向量 的方向),(0zyx0“向前”,可设 或 ,其中),1(zynv)(0zyx；若要法向量 的方向“向右” ，可设 0x nv或 ,其中),1(ynv),(0zyx0y所以，只要我们判断两个法向量的方向是“一进一出” ，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出” ， 那么1n

8、ur2v图 65所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。例题 6 改编自 2007 年福建高考题如图，正三棱柱 的所有棱长都为1ABC， 为 中点2D1（）求证： 平面 ； 1D（）求二面角 的大小；CBA解：（） 取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立1BC1OOur1Aurxyz， ，空间直角坐标系解略（）设平面 的法向量为 BA1()xyz， ，n， )3,0(B(02)ur， ，1nQ03211zxABy令 ，得平面 的一个法向量zD)1,03(n设平面 的法向量为 1C),(cbav， )3,2(1BA021BvQ021baBCnc令 ，得平面 的一个法向量a1A)3,1(vABCD1A1C1BxzABCD1A1C1BOFy65123,cosvn所求的二面角的平面角是 arcos评析 上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的，所以它们的夹角就等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向，就可以解决直观不能判断二面角的锐或钝的情况。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法，而在利用法向量求二面角的过程中，若能巧设法向量，则能使解题过程更加简洁明快，进一步优化。