二项式与概率的习题

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1、教学重点：展开式中特定项的求解；系数和问题教学难点：二项展开式特定项的确定、计算；两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的求解一、知识要点回顾1、二项式定理： 01 *().nnrnnabCabCabNLL右边的多项式叫做 的二项展开式各项的系数 叫做二项式系数rn式中的 叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第 项rCab 1r即 1(0,12,).rnrTnL二项展开式特点：共 项；按字母 的降幂排列，次数从 到 递ran0减；二项式系数 中 从 到 递增，与 的次数相同；rnC0b每项的次数都是 .性质 1 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项nab式系数相等，即 mnC性

2、质 2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即 1mmnn性质 3 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ，即nab 2n012.nnCL（令 即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质 4 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 nab的二项式系数的和，即02213211.r rnnnnnCCLL（令 即得）1,ab性质 5 的二项展开式中，当 为偶数时，中间一项的二项式系nabn数 取得最大值；当 为奇数时，中间两项的二项式系数2nC1,相等，且同时取得最大值 （即中间项的二项式系数最大）2n .例 1 求 展开式中 的系数，展开式中是

3、否存在常数项？10x6x例 2 已知 10 2101 102 .aaxaxL求：（1） ；0（2） ；1210（3） ；359aaL例 3 求 展开式中：201x（1）最大的二项式系数；（2）最大系数；（3）最小系数；例 4 求 展开式中 项的系数211nxxL3x.例 5 求 展开式中含 项的系数64. 的展开式的第三项为 62ab在 的展开式中， 项的系数为 53x2x.在 的二项展开式中，若常数项为 ，则 等于 n 60n. 的二项展开式中各项系数和为 7321x . 的展开式中， 的一次项的系数是 5x .化简： 12319nnnCCL. 已知 ，52345011xaxaxx则 的值等

4、于 02435 .概率部分统计部分 求平均数 方差 标准差 极差 分布直方图 一些性质 1从总体中抽得的样本数据为 3.8，6.8，7.4 则样本平均数 为：（ ）xA. 6.5 B. 6 C. 5 D. 5.52高三年级有 12 个班，每班 50 人按 150 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）抽样法：A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数表法3如果数据 x1,x2,x3,xn 的平均数为 ,方差为 62，则数据 3x1+5,3x2+5,3xn+5 的平均数和方差分别是 （ ）A B C D随机事件，必然事件，不可能事件，互斥事件

5、，对立事件，独立事件，等事件随机事件的概率为 。0()1PA必然事件用 表示，不可能事件用 表示，必然事件的概率为 ，即 ；11P不可能事件的概率为 ，即 。0概率为 1 的事件不一定为必然事件，概率为 0 的事件不一定为不可能事件1.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：某地明年 1 月 1 日刮西北风；当 时， ；xR2手电筒的电池没电，灯泡发亮；某电影院某天的上座率超过 ；50%某人开车通过 10 个路口都将遇到绿灯；将一枚硬币抛掷 4 次出现两次正面和两次反面； 某校高一学生中男生比女生多；一粒花籽，播种后发芽；函数 的图象过点 ；若 为实数，则 。1ykx1,0aa2.下

6、列说法不正确的说法是（ ）既然抛掷硬币出现正面的概率为 0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；若某种彩票的中奖概率为 ，则买 1000 张这种彩票一定能中奖；10在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；一个骰子掷一次得到 2 的概率是 ，这说明一个骰子掷 6 次会出现一次 2。6A. B. C. D.3.10 件产品中有 8 件正品，2 件次品，从中随机地取出 3 件，则下列事件中是必然事件的为（ ）A.3 件都是正品 B.至少一件次品 C.3 件都是次品 D.至少一件正品1.互斥事件

7、：不能同时发生的两个事件成为互斥事件。6和 25和953和x6和2.互斥事件的概率关系：如果事件 ， 互斥，那么事件 发生的概率，等ABBA于事件 ， 分别发生的概率的和，即 。AB )()(PP3.对立事件：若两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。事件 的对立事件记为 。13设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述 1 次试验的成功次数，则 P（ =0）等于_。结论： 是必然事件，即： ， 。A 1)()(APAP()()PA对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 P(A*B) =P(A) *P(B)

8、 推 广例题：某人射击 1 次，命中 7-10 环的概率如右表所示：求射击 1 次，至少命中 7 环的概率；求射击 1 次，命中不足 7 环的概率。4甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为 0.8 和 0.7，那么，在一次预报中两站都准确预报的概率为 （ ）A0.7 B0.56 C0.7 D0.8甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为 a 和 b，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是 条 件 概 率 的 公 式 为常 见 槪 型 【知识点 2】古典概型1.基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果。2.等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性

9、都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。3.古典概型的两个条件：例 1.一个口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出两个球。求摸出的两个都是白球的概率是多少？例 2.用不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3 个矩形颜色都相同的概率；(2)3 个矩形颜色都不同的概率 1.同时抛掷两个骰子，计算：向上的点数相同的概率；向上的点数之积为偶数的概率。2.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：（1）两数之和是 3 的倍数的概率；（2）两数之和不小于 10 的概率。3.从 3 件正品、1 件次品中随机取出两件，求取出的产品全是

10、正品的概率。4.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数字 1，2，3，4。若甲从一个箱子摸出一个球，乙从另一个箱子里摸出一个球，环数 10 环 9 环 8 环 7 环概率 0.12 0.18 0.28 0.32谁摸出的球上的数字大谁就获胜（数字相同为平局），求甲获胜的概率。5.从甲乙丙三人中任选两名代表，求甲被选中的概率。7.求抛掷三枚硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率。8.三名学生排成一排，求甲乙站在一起的概率。10.三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，求经过 3 次传球后，球仍回到甲手中的概率。1.有 5 条线段长度分别为 1，3，5，7，9，从这 5

11、 条线段中任取 3 条，则所取3 条线段能构成一个三角形的概率为 。6已知盒子中有散落的围棋棋子 15 粒，其中 6 粒黑子，9 粒白子，从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率 （ ）12.已知甲乙两人可以随意入住两间空房，求甲乙两人恰好各住一间房的概率。9有 3 个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有 10 节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为 （ ）1.几何概型的概念：求有关线段，平面图形，立体图形等的概率。2.几何【知识点 3】几何概型概型的条件：（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。【必会题型】1.取一个边长为 的正方形及其

12、内切圆，随机向正方形内丢一粒豆a子，则豆子落入圆内的概率的 。2.现有 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取 的10ml 20ml蒸馏水，则抽到细菌的概率是 。3.在等腰直角 的斜边 上任取一点 ，则 小于 的概率是 ABCMAC。4.有一个半径为 的圆，现将一枚半径为 硬币向圆投去（不考虑硬币完全落在51圆外的情况），则硬币完全落入圆内的概率是 。5.某人早上醒来发现表停了，他打开收音机等待电台的整点报时，则他等待的时间不多于 20 分钟的概率为 。6.任意剪断一条长度为 5 米的绳子，则剪得的两段绳子的长度都不小于 2 米的概率是 。7.在长为 10 米的线段 AB 上任取一点 P，并

13、以线段 AP 为边作正方形，则这个正方形的面积在 平方米之间的概率是 。(2,498.某人在车站乘车出差，已知该站发往各站的车均为每小时一班，则此人等车时间不多于 10 分钟的概率为 。9.若过正三角形 的顶点 任作一条直线 ，则 与线段 相交的概率为 ABCLBC。11.一只金鱼在一个长方体水缸中自由游弋，水缸长为 20dm，宽为 15dm，则金鱼的嘴尖离岸不超过 2dm 的概率是 。12.若 ，则点 落在圆面 内的概率是 2,xy(,)xy2xy51771105354。随 基 变 量 分 布 列常 见 分 布 1 两 点 分 布 2 伯 努 利 分 布 3 抽 次 品 的 几 何 分 布110一患者服用某种药品后被治愈的概率是 95%，则患有相同症状的四位病人中被治愈人数的分布列 并求期望与方差5.连续抛掷 1000 次硬币，那么第 999 次出现正面朝上的概率是 。19 （本小题满分 12 分）袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 ，从 B 中摸出一个红球的概率为 p31() 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次( i)恰好有 3 次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率() 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ，求 p 的值