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1、1行程问题行程问题是研究运动的物体,在某一段时间内运动的速度和经过的路程三者之间的相互关系。大致可以分为一般行程问题(单车、单人的运动) 、追及问题(双车、双人向相同方向运动状态) 、相遇问题(双车、双人相对运动的状态)和行船问题。行程问题的基本数量关系是:(1)路程=速度 时间(2)速度=路程 时间(3)时间=路程 速度(一)一般行程问题例 1、一艘船从相距 420 千米的 A 地到 B 地去,每小时行 40 千米,几小时到达?解法 1:根据路程 时间,可求得时间为:420 40=10.5(小时)解法 2:设 小时可到达,列方程为 ,解得x402x10.5x例 2、小明从家到学校,如果每分走
2、 50 米,就要迟到三分钟,如果每分走 70 米,提前 5 分钟到校。小明家到学校的路程是多少?解法 1:设路程为 米,根据小明从家出发离上课的时间保持不变,x可列方程为: 35507两边同乘最小公倍数 350,得 10570xx移项,及合并同类项,得 28系数化为 1,得 (米)4x解法 2:设小明从家出发离上课还有 分钟,根据小明家到学校的路程保持不变,可列方程为: 50(3)7(5)去括号,得 0xx移项,及合并同类项,得 2系数化为 1,得 (分钟)所以,小明家到学校的路程为: (米)5(3)502814备注:解法 1 的等量关系是:时间 等于 时间(基本等量关系:同一个量可以用两种形
3、式表达) 。假设小明从家出发的时间为 7 点半,上课时间为 8 点整,每分走 50 米,花 分钟,迟到三分钟,说50x明如果花( )分钟就不会迟到,即从家出发离上课还有( )分钟;每分走 70 米,花350x 3分钟,提前 5 分钟到校,说明从家出发离上课还有( )分钟。7 70x解法 2 的等量关系是:路程 = 路程(基本等量关系:同一个量可以用两种形式表达) 。设小明从家出发离上课还有 分钟,若每分钟走 50 米,走的时间为 分钟,走的路程为 ;若每x (3)50(3)x分钟走 70 米,走的时间为 分钟,走的路程为(5)705x题 1:小利早上从家步行去学校上学,如果每分钟行 80 米,
4、就迟到 4 分钟;如果每分钟行 100 米就早到学校 6 分钟,小利家离学校有多远?(用两种方法)2题 2:一架飞机最多能在空中飞行 4.5 时,飞出时速度为每小时 800 千米,返回时速度每小时为1000 千米,问这架飞机(最多)飞出去多远就应该返回?(用两种方法)题 3:一架飞机运送药品到地震灾区,原计划每分钟飞行 9 千米,现在将速度提高到每分钟 12 千米,结果比原计划早到 30 分,问机场与目的地相距多少千米?(用两种方法)(二)追及问题例 1:兄弟二人由家向学校出发,弟弟步行每分走 50 米,哥哥骑自行车每分行 200 米。弟弟走 12分钟后,哥哥骑车去追,几分钟后能追上弟弟?分析
5、:等量关系是:哥哥走的路程 = 弟弟走的路程解:设 分钟后能追上弟弟,可列方程为: ,解得x205(1)x4x答:4 分钟后能追上弟弟。例 2:甲、乙两人从同地出发前往某地。甲步行,每小时走 4 公里,甲走了 16 公里后乙骑自行车以每小时 12 公里的速度追赶甲,问乙出发后,几小时能追上甲?解:设 小时能追上甲x解得 答:2 小时能追上甲164x例 3:甲、乙两人练习 50 米短距离赛跑,甲每秒钟跑 7 米,乙每秒钟跑 6.5 米。(1)几秒后,甲在乙前面 2 米?(2)如果甲让乙先跑 4 米,几秒可追上乙?解:(1)设 秒后,甲在乙前面 2 米,列方程为: 解得x 6.52x4x(2)设
6、秒可追上乙,列方程为: 解得6.54x8题 1:甲、乙二人分别从西村和东村同时向东而行,甲骑自行车每小时行 14 千米,乙步行每小时行 5 千米。2 小时后,甲追上乙。求东西两村相距多少千米?题 2:小明和爸爸绕一个周长为 400 米的跑道进行晨练,爸爸每分跑 200 米,小明每分跑 160 米,两人同时同地同向出发,问至少要经过几分钟两人才能相遇?相遇时各跑了几圈?3(三)相遇问题例 1、甲、已两个车站相距 168 千米,一列慢车从甲站开出,速度为 36 千米/小时,一列快车从乙站开出,速度为 48 千米/小时。(1)两列火车同时开出,相向而行,多少小时相遇?(2)慢车先开 1 小时,相向而
7、行,快车开几小时与慢车相遇?(1) 解:设 x 小时相遇,列方程为:6x+48x=168 解得 x=2. 答:2 小时相遇(2) 解:设快车开 x 小时与慢车相遇.36(x+1)+48=168. 解得 x= 。答:快车开 小时与慢车相遇.717例 2、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米两地相向而行,甲的速度为 17.5 千米每小时,乙的速度为 15 千米每小时,经过了几小时两人相距 32.5 千米?解:设经过了 x 小时两人相距 32.5 千米.17.5x+15x+32.5=65 解得 x=1 或者 x=3 答:经过了 1 或 3 小时两人相距 32.5 千米.题 1:甲、乙两城相距
8、1030 千米,从甲城往乙城开出一辆普通客车,每小时行 65 千米,2 小时后,从乙城往甲城开出一列快车,每小时行 85 千米。快车开出多少小时后同普通客车相遇?题 2:甲、乙两地相距 351 千米,客车和货车同时分别从两地相对开出,经过 4.5 小时相遇。已知客车和货车的速度比为 7:6,求货车行完全程要用几小时?题 3(相背问题):甲、乙两人骑自行车从同一地点相背而行,甲每小时行 13 千米,乙每小时行11 千米。如果乙先行 34 千米,那么两人同时行驶几小时后,他们之间的距离是 82 千米?题 3:电气机车和磁悬浮列车从相距 298 千米的两地同时出发相对而行,磁悬浮列车的速度比电气机车
9、速度的 5 倍还快 20 千米/时,半小时后两车相遇,两车的速度各是多少?题 4:学校两地相距 416 千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行驶 32 千米,汽车开出半小时后,一辆摩托车从乙地开往甲地,速度是汽车的 1.5 倍,则摩托车开出几小时后能与汽车相遇?题 5:甲、乙骑自行车同时从相距 50 千米的两地相向而行,2 小时相遇,已知甲比乙每小时多骑45 千米,求乙的速度。(四)行船问题行船问题基本等量关系:逆水速度 静水船度 水速;顺水速度 静水船度 水速水速 顺水船度 静水船度 静水船度 逆水船速 (顺水船度 逆水船速) 2逆风速度 无风速度 风速;顺风速度 无风速度 风速风速 顺风速
10、度 无风速度 无风速度 逆风速度 (顺风速度 逆风速度) 2例 1:一艘轮船航行在甲、乙两个码头之间,已知水流的速度是 3km/h,轮船顺水航行需要 5h,逆水航行需要 7h,求甲、乙两个码头之间的距离解法一:等量关系是:顺水路程 = 逆水路程。这是两种基本等量关系中的第二种(同一个量可以用两种形式表达) ,设船在静水中的速度为 x km/h,依题意,可列方程为:5(x+3)=7(x-3),去括号得 5x+15=7x-21,移项及合并同类项得:-2x=-36 ,所以 x=18,所以距离为:5(18+3)=5 21=105 千米解法二:等量关系是:船在静水中的速度 = 船在静水中的速度。这是两种
11、基本等量关系中的第二种(同一个量可以用两种形式表达) ,设甲、乙两个码头之间的距离为 x 千米,依题意,可列方程为: ,357x两边同乘最小公倍数 35,得 7x-105=5x+105,移项及合并同类项,得 2x=210,所以 x=105例 2:一架飞机在两城之间飞行,无风时飞机每小时飞行 552 千米,在一次往返飞行中,飞机顺风飞行用去 小时,逆风飞行用了 6 小时,求这次飞行时的风速.15解:设这次飞行是的风速为 x 千米/小时.(552x)=6(552-x) 23x=552 解得 x=24 答: 这次飞行时的风速为 24 千米/ 小时.2题 1:一艘轮船往返于甲、乙两个码头,由甲码头到乙
12、码头是顺水航行,由乙码头到甲码头是逆水航行。已知这艘轮船在静水中每小时可以航行 30 千米,已知从甲码头到乙码头要用 7 小时,返回时要用 8 小时,求水的速度。题 2:一个渔民驾驶的渔船在静水中每小时航行 16 千米。一天他从河的下游甲地开往上游的乙地共用去 8 小时,这条河水流速度是每小时 4 千米,他从乙地返回甲地需要多少小时?题 3:(课文 97 页)一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用 2 小时,从乙码头返回甲码头逆流行驶,用 2.5 小时,已知水流的速度是 3 千米/时,求船在静水中的平均速度。题 4:一架飞机在两城之间飞行,风速为 24 千米/时,顺风飞行需要 2 小时 50 分,
13、逆风飞行需要3 小时,求无风时飞机的航速和两城之间的航程。5题 5:一个人骑自行车从 A 地到 B 地去。去时顺风 4 小时就到达,返回时风速没有减,依然是去时的每小时 5 千米,如果他返回时用了 8 小时,那么 A、B 两地之间的距离是多少千米?一般行程问题答案:题 1:小利早上从家步行去学校上学,如果每分钟行 80 米,就迟到 4 分钟;如果每分钟行 100 米就早到学校 6 分钟,小利家离学校有多远?解法 1:设路程为 x 米,根据小利人家出发离上课的时间保持不变,可列方程为: 4680两边同乘最小公倍数 400,得 5x-1600=4x+2400移项,及合并同类项,得 x=4000系数
14、化为 1,得 x=1400(米)解法 2:设小明从家出发离上课还有 x 分钟,根据小明家到学校的路程保持不变,可列方程为:80(x+4)=100(x-6)去括号,得 80x+320=100x-600移项,及合并同类项,得-20x=-920系数化为 1,得 x=47(分钟)所以,小明家到学校的路程为:80 (47+3)=80 50=4000(米)答:小利家离学校有 4000 米。题 2:小明在 360 米的环形跑道上跑了一圈,已知道他前一半时间每秒跑 5 米,后一半时间每秒跑 4 米,求他后一半路程用了多少妙?分析:小明前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度,因此前一半时间跑步的路程大于一
15、周的一半 180 米。即在前半圈跑步的速度都是每秒 5 米,可求出前半圈所用的时间,只要求出跑一圈所用时间,问题就能解决了。解:设跑一圈用 x 秒,那么列出相应的方程是:5x 2+4x 2=360,所以,2.5x+2x=4.5x=360,求得 x=80前一半路程所用时间是 180 5=36(秒) ,所以后一半路程所用时间就是 80-36=44(秒) 。答:他后一半路程用了 44 秒。题 3:一架飞机最多能在空中飞行 4.5 时,飞出时速度为每小时 800 千米,返回时速度每小时为1000 千米,问这架飞机(最多)飞出去多远就应该返回?分析:根据题意可知,往返的路程是相等的,那飞出时的速度乘以所
16、用时间,等于返回时的速度乘以返回的时间。解:设飞出时所用时间为 x 时,返回时所用时间就是(4.5-x)小时根据飞出去的路程等于返回的路程,可列方程为:800x=1000(4.5-x)所以,800x=4500-1000x,移项得 1800x=4500,求得 x=2.5,800 2.5=2000(千米)答:这架飞机最多飞出 2000 千米就应该返回。课后作业题 1:小明在 360 米的环形跑道上跑了一圈,已知道他前一半时间每秒跑 5 米,后一半时间每秒跑 4 米,求他后一半路程用了多少秒?6题 2:小红从家到学校,先用每分 50 米的速度走了 2 分钟,这时她发现这样走下去,上课就要迟到 8 分钟,于是加快速度以每分钟 60 米的速度前进,到校后发现提前了 5 分钟,求小红家到学校的距离。 (用两种方法)