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1、一道中考几何压轴题解法探讨 武汉市光谷实验中学 吴国庆2010 年武汉市中考第 24 题是一道几何探究性问题，本题区分度较大，但解题入口宽，其解法比较多，笔者就本题解法作了一些探讨。题目：已知：线段 OAOB，点 C 为 OB 中点，D 为线段 OA 上一点。连结 AC，BD 交于点 P(1) 如图 1，当 OA=OB，且 D 为 OA 中点时，求 AP的值；(2) 如图 2，当 OA=OB，且 A1O4时，求 tanBPC 的值(3) 如图 3，当 ADAOOB=1 n 2时，直接写出 tanBPC 的值本题(1)问学生容易入手，答案为 2，(2) 问其实是(3)问的特殊情况（即n=4 时）
2、 ，现就第 (3)问解法探讨归纳如下：一，倍长线段 构造全等形如图(3)，延长 AC 至点 H，使 CH=CA ，连结 BH，C 为 OB 中点，BC H OCA，CBH= O=90，BH=OA。由ADAOOB=1 n 2，设 AD=t，则 AO = n t，OB= 2n t，BH=OA= n t 。在 RtBOD 中，BD = =（n+1）2)1()(tt，OA/BH，HB P ADP， = = =n。BP =nPD= BD=nt，BH =BP。又点 CDPBAt 1n为 OB 中点，BC=CO= , tanBPC=tanH= = = 。nBCnt 也可以计算出 AD=PD,从而 BPC=A
3、PD=A, 算出 tan A= 即可。AOC如图（4） ，延长 PC 至 T，使 CT=PC，连接 OT,可证 BPC OTC， APD ATO，通过推理计算可得 PD=AD,从而BPC= A,tan A= 。AOCn二，截取中点 构造中位线如图（5） ，取 BD 的中点 E，连接 CE，又 C 为 OB 中点，CEDO,CE=DO，由 ADAOOB=1n 2n，设 AD=t，则 AO = n t，OB= 2n t 21，在 RtBOD 中，BD= =（n+1 ）t，2)1()(tBE=ED= , CE= DO= ,OA/CE, ECPDAP, t21t= ,EP= = , CE= EC=EP
4、, PDEACtnEDn21tntn21 ECP=BPC=APD=A, tanBPC=tan A= = = 。OCt如图（6） ，也可取 OD 的中点 F，连接 CF，通过推理计算得 PD=AD,从而 BPC=APD=A,算出 tan A= 即可。三，利用分点 添加平行线如图（7） ，过 D 作 DGBO, 交 AC 于 G, 由 ADAOOB=1n 2n，设AD=t，则 AO = n t，OB= 2 t，在 Rt BOD 中，BD= =（n+1）t，DGBO, 22)1()(tnAGDACO, = ,CO= ,GD= ,DGBO, tAODCGttnGDPCBP, ,DP= =t, DP=D
5、A, ntBPDCG1tn)1(tanBPC=tan APD= tanA= = 。AO如图（8） ，可作 DMAC,交 BO 于 M；如图（9） ，可作 ANBO,交 BD 延长线于 N；如图（ 10） ，可过 O 作 OSAC，交 BD 的延长线于 S。均可通过推理计算知 DP=DA，由上面解法可求 tanBPC 。点评：图（3）至图（10）中辅助线，实质都是关注分点 C,D,通过作平行线，构造相似中的基本图形（A 形图，X 形图） ，推理计算出 AD=PD，从而使问题得解。四，平移线段 构造相似形如图（11） ，作 CIAD,DIAC, CI,DI 交于点 I，连接 BI, 则 ACID
6、为平行四边形，BCI= ICO=O=90,CI=AD,AC=DI, BPC=BDI,由ADAOOB=1 n 2，设 AD=t，则 AO = n t，OB= 2n t ，点 C 为OB 中点，BC=CO= , , , ,又ttnBCItAOAOBIBCI=O，BCIAOC, BIC=ACO, ACID 为平行四边形，DIC=A,ACO+A=90, BIC+ CID=90, 即BID=90，tanBPC=tan BDI= = = 。DIBAOCnt如图（12） ，作 BJAD,AJBD, AJ,BJ 交于点 J，连接 JC,可证 BCJAOC, JCA=90，tan BPC=tanJAC= = .
7、JB如图（13） ，作 DKBO,CKBD, DK,CK 交于点 K，连接 AK, 可证 KDAAOC, CAK=90，tanBPC=tan ACK= = = .ACODBn如图（14） ，作 ALBO,BLAC, AL,BL 交于点 L，连接 LD, 可证 LADAOC, BLD=90，tanBPC=tan LBD= = = = .BAC点评：图（11）至图（14）中辅助线，实质是平移线段（AD 或 BC） ，构造三角形与AOC 相似，通过平行四边形，相似三角形，转化角和边，使问题得解。五，添坐标系 利用解析法如图（15） ，以 BO 为 x 轴，AO 为 y 轴,建立直角坐标系，过点 P
8、作 PQy轴，垂足为 Q，由 ADAOOB=1 n 2，设 AD=t，则 AO = n t，OB= 2n t，又点C 为 OB 中点， BC=CO= ,A(0, nt), D(0, ( n-1)t) , C( , B( ,t )0)0求得直线 AC 的解析式 y= ,直线 BD 的解析式 y= ,联立解ntxtnx1(2析式， 求得 P( ,PQ= ,DQ=(n-1)t = ,在 Rt)1,22ttnt12ttPDQ 中， PD= =t, PD=AD, BPC=APD=A, 22)()(tttanBPC=tan A= = 。AOCn另解：建立坐标系后，由解析几何知识知 kAC= = ,kBD= = ,COAnBDn21由 tanBPC= = ,问题解出。BDACk1n 中学数学2011 年 2 期
