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1、MATLAB 中简单的数据拟合方法与应用实例仅供努力学习 matlab 的同学们参考参考,查阅了 M 多资料,总结了以下方法按步骤做能够基本学会 matlab 曲线拟合的1.1 数据拟合方法1.1.1 多项式拟合1.多项式拟合命令polyfit(X,Y,N):多项式拟合，返回降幂排列的多项式系数。Polyval(P,xi):计算多项式的值。其中,X,Y 是数据点的值；N 是拟合的最高次幂；P 是返回的多项式系数；xi 是要求的横坐标实例数据：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 9 7 6 3 -1 2 5 7 20拟合命令如下：x=1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=9 7 6 3
2、-1 2 5 7 20;P=polyfit(x,y,3);xi=0:.2:10;yi=polyval(P,xi);plot(xi,yi,x,y,r*);拟合曲线与原始数据如图 1-1图 1-12 图形窗口的多项式拟合1）先画出数据点如图 1-2x=1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=9 7 6 3 -1 2 5 7 20;plot(x,y,r*);图 1-22）在图形窗口单击 ToolsBasic Fitting,如图 1-3 勾选.图 1-3图 1-3 右方分别是线性、二阶、三阶对数据进行多项式拟合。下面的柱状图显示残差，可以看出,三阶多项式的拟合效果是最好的。1.1.2 指定函数拟合已
3、知 M 组数据点和对应的函数形式 f t（ t） =acos(k)eXY编写 M 文件：syms tx=0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15;y=1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02;f=fittype(a*cos(k*t)*exp(w*t),independent,t,coefficients,a,k,w);cfun=fit(x,y,f)
4、xi=0:.1:20;yi=cfun(xi);plot(x,y,r*,xi,yi,b-);图 1-4运行程序,在命令窗口可达到以下运行结果，图像如图 1-4Warning: Start point not provided, choosing random start point. In fithandlewarn at 715In fit at 315In Untitled2 at 5cfun =General model:cfun(t) = a*cos(k*t)*exp(w*t)Coefficients (with 95% confidence bounds):a = 0.9987 ( 0
5、.9835, 1.014)k = 1.001 (0.9958, 1.006)w = -0.2066 (-0.2131, -0.2002)从结果可以看出,拟合的曲线为： 。(0.26)()0.987cos(1.0)*tft te拟合曲线给出了数据大致趋势，并给出了各参数的置信区间。注意：命令窗口中的 warning 是由 a,k,w 这 3 个参数的初始值未给出导致的,如果给出的拟合结果不理想,可以多运行几次。备注：补充 1.matlab 中的 cftool一、 单一变量的曲线逼近Matlab 有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结
6、合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且 A0,B0 。1、在命令行输入数据：x=110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475；y=5 10 15 20 25 30 35 40 45 50；2、启动曲线拟合工具箱cftool3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；（2）利用 X data 和 Y d
7、ata 的下拉菜单读入数据 x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：* Custom Equations：用户自定义的函数类型* Exponential：指数逼近，有 2 种类型， a*exp(b*x)
8、、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)* Fourier：傅立叶逼近，有 7 种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)* Gaussian：高斯逼近，有 8 种类型，基础型是 a1*exp(-(x-b1)/c1)2)* Interpolant：插值逼近，有 4 种类型，linear 、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving* Polynomial：多形式逼近，有 9 种类型，linear 、quadratic 、cubic 、4-9th degree * Power：幂逼近，有 2 种类型，
9、 a*xb 、a*xb + c* Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是 linear 、quadratic 、cubic 、4-5th degree ；此外，分子还包括 constant 型* Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）* Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有 8 种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)* Weibull：只有一种，a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟
10、合算法、修改待估计参数的上下限等参数；如果选 Custom Equations，点击“New ”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有 “Linear Equations 线性等式 ”和“General Equations 构造等式”两种标签。在本例中选 Custom Equations，点击“New”按钮，选择 “General Equations”标签，输入函数类型 y=a*x*x + b*x，设置参数 a、b 的上下限，然后点击 OK。（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在 Results 框中得到拟合结果，如下例：general model:f(x) = a*x*x+b*xC
11、oefficients (with 95% confidence bounds):a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)b = 1.78e-011 (fixed at bound)Goodness of fit:SSE: 6.146R-square: 0.997Adjusted R-square: 0.997RMSE: 0.8263同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting ”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4） （5）进行一次新的拟合。不过，需要注意的是，cftoo
12、l 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。补充 2.MATLAB 拟合、优化、统计等工具箱专有名词解释：SSE(和方差、误差平方和)：The sum of squares due to errorMSE(均方差、方差)：Mean squared errorRMSE(均方根、标准差)：Root mean squared errorR-square(确定系数)：Coefficient of determinationAdjusted R-square：Degree-of-freedom ad
13、justed coefficient of determination下面我对以上几个名词进行详细的解释下，相信能给大家带来一定的帮助！一、SSE(和方差)该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，计算公式如下SSE 越接近于 0，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功 。接下来的 MSE 和 RMSE因为和 SSE 是同出一宗，所以效果一样二、MSE(均方差)该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值，也就是 SSE/n，和 SSE 没有太大的区别，计算公式如下三、RMSE(均方根)该统计参数，也叫回归系统的拟合标准差，是 MSE 的平方根，就算公式如下在这之前
14、，我们所有的误差参数都是基于预测值(y_hat)和原始值 (y)之间的误差(即点对点)。从下面开始是所有的误差都是相对原始数据平均值(y_ba)而展开的(即点对全)!四、R-square(确定系数)在讲确定系数之前，我们需要介绍另外两个参数 SSR 和 SST，因为确定系数就是由它们两个决定的(1)SSR： Sum of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和，公式如下(2)SST：Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和，公式如下细心的网友会发现，SST=SSE+SSR，呵呵只是一个有趣的问题。而我们的“确定系数”是定义为 SSR 和 SST 的比值，故其实“确定系数” 是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为0 1，越接近 1，表明方程的变量对 y 的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好待续
