数学论文-关于光滑曲线的距离定理

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1、 1关于光滑曲线的距离定理（孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：本文就条件最值问题进行讨论，提出拉格朗日乘数法的一个不严密之处。然后将问题过渡到点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离问题，给出一类这种问题的两个充分条件，最后建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法。关键词： 条 件 最 值 、 光 滑 曲 线 、 公 共 法 线Theorem on the smooth curves of the distanceAbstract：This article discussed the issue of conditions of

2、most value, proposed a Lagrange multiplier method does not close the office. Then the problem to point to the transition curve (surface) and the curve (surface) to the curve (surface) there is the shortest distance problem, we obtain two sufficient conditions for this problem, and finally establish

3、a smooth curve from the two nature of the theorem, they were seeking through a new method of distance.Keywords：Conditions of most value、smooth curve、 normal public. 21 引例：问题的提出在目前被广泛采用的一些数学分析教材中，对涉及到求一个点到曲线（面）的距离，或曲线（面）到曲线（面）的距离时，通常是采用拉格朗日乘数法，把它转化为求无条件极值的问题下例便是许多教科书中普遍采用的一个例子：例 11,2 抛物面 2xyz被平面 1z截成

4、一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离对于这类条件最值的问题，从理论上讲，必须先判断所求问题一定存在最大值或最小值，然后通过求条件极值及与边界值、不可导点的值比较来得到条件最值 3如文1在对例 1 的解答中指出：例 1 中问题的实质就是要求函数22(,)fxyzz在条件 及 下的最大、最小值问题因为函数 在有20xyz0 f界闭集 上连续，从而必存在最大值与最小值2(,),1xyz例 1 中最值的存在性是依据“ 有界闭集上的连续函数一定存在最大值与最小值” 这一定理，但对于无界的集合就不一定具有这一特性，条件最值的存在性须另证明，对具体问题要作具体分析例 21,2 求函数 （ ）在条件22

5、1nfxx 0ia（ ）12a ,12,i n下的最小值在文2及4中用拉格朗日乘数法求出稳定点后指出：由于函数 没有最f大值，所以稳定点 就是使函数达到最小值的点12,nx例 35 求椭圆曲面 3到平面 的最短距离22:(5)(4)1Sxyz:3260xyz在文5所作的解答中也是未加任何说明，就直接指出它们之间存在最短距离笔者认为以上说法值得商榷，关于最小值的存在性的仅凭其没有最大值而做出的判断缺乏理论根据，特别容易引起初学者的理解偏差其中例 1 与例 2是属于同一类型的问题，它们都是点到曲线（曲面）的最短距离问题，例 2 中问题的实质就是求 维实空间 中坐标原点 到超平面nnR(0,)（ ）

6、121naxax 1,2i n的距离平方的最小值而例 3 是曲线（面）到曲线（面）之间的最短距离问题，那么是不是任意两条光滑曲线之间都存在最短距离呢？下面的反例说明该结论不真反例双曲线 （ ）与直线 之间不存在最短距离因为双1yx01y曲线上的任何点与直线上的任何点之间的距离一定大于，而且对任何正数，一定存在双曲线上的点 与直线上的点 ，使得它们之间的距离0PQ满足： (,)dPQ1(,)1d为方便应用，本文首先给出一类点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离的两个充分条件在此基础上给出本文的主要结果 建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法2 最小距

7、离的存在性条件定义 1 6 设 维实空间 中任意两点nnR， ，12(,)x 12(,)ny规定距离121(,)()niidxy定义 2 6 设 、 是 中两个非空点集，它们的距离定义为ABnR 4,(,)inf(,)ABdd定义 3 设 、 是 中两个非空点集，如果存在 ， 使得ABnR0A0B0(,)(,)d称点集 、 之间存在最短距离定理 1设平面曲线由方程 (,)0Fxy给出，并且它满足隐函数定理条件则平面上任一定点 与该曲线之间0(,)Axy存在最短距离证明记平面曲线构成的点集为 ，即 ，根据距离B(,),F的定义 ，结合下确界的性质，故对于正数 ，存在 使(,)inf(,)BdAd

8、 1nnB（ ） ,(,)(,)nAdA,2（1）由上式知 上的平面点集 有界，所以必存在收敛的子列 Bn kn若记 ， ，则由子列 收敛，记 ，(,)nnxy,2 (,)kknxy0limkn知两子数列 、 也收敛设 ， ，由kk limkxaliknb及 的连续性，令 ，则 ，(,)0knFxy(,)Fxy (,)(,)kFxya故 0,abB根据（1）及距离的三角不等式，有（2）00 01(,)(,)(,)()(,)()kk knn nkdAdAdABd注意到 ，对（2）两边令 ，得00limli,k knnk0(,)(,)(,)dd（3）故存在曲线上的点 ，使得 0(,)abB0(,)

9、(,)A 5定理 2设两条平面曲线 与 分别由方程ST与:(,)0Fxy:(,)0Gxy给出，并且它们都满足隐函数定理条件，并且至少有一条曲线构成的点集有界。则曲线 与 之间存在最短距离ST证明为方便计，我们以 与 分别表示由这两条曲线所构成的点集，根ST据距离与确界的定义，则有 ,(,)inf(,)inf(,)if(,)SSTdddS不妨设 有界，记函数 ， 下面先(,),0SxyF ,证明函数 在 上连续，为此考虑 中任意两点 、 ，根据 的定义，f 12(,)d对 ，存在 ，使得0T1112(,)(,)(,)(,)dd2T即 ，由 的任意性，可知1212(,)(,)(,)dT212(,)

10、(,)dTd同理可证 ，说明 ，此即211(,)(,),12,(,)Td，由此推知函数 在 上连续，但 是一个有界闭集，12()ff()fSS故 在 上存在最小值，故存在 ，使得(,)dTS0(,)inf(,)(,)SdTdT再根据定理 1，又存在 ，使 ，因此000,有 0(,)(,)dST通过定理 1 与定理 2，可以很清楚的理解例 1、例 2、例 3 中最短距离的存在性，而且不难把相应结论推广到空间曲线与曲面上去限于篇幅，这里从略3 主要结果 上面讨论了一类点到曲线以及曲线到曲线之间存在最短距离的两个充分条 6件，下面将建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理为此，我们先考察两个简单结论：

11、结论 1设两个圆 、 不相交，如果 、 ，使 ，1C21PC2Q12(,)dCPQ则 的延长线必经过两圆的圆心（参见图 1、图 2）PQ（图 1） （图 2）结论 2设直线 与圆 不相交，如果 、 ，使 ，LCPLQC(,)dLPQ则 一定垂直于直线，且 的延长线必经过圆心PQPQ从以上两个具体结论上看， 都是圆或直线的法线这个结论可以推广到一般的光滑曲线上去，即定理 3设平面上不相交的两条光滑曲线 与 之间存在最短距离如果LC有 、 ，使 ，则 一定是 与 的公共法线PLQC(,)dLPQ推论 1 设 是平面上一条光滑曲线，定点 不在 上如果有 ，使PQL，则 一定是 在 点的法线(,)d定

12、理 4 设空间 上不相交的两条光滑曲面 与 之间存在最短距离如3RST果有 、 ，使 ，则 一定是 与 的公共法线PSQT(,)dSPQ推论 2 设 是空间中一个光滑曲面，定点 不在 上如果有 ，使PQ，则 一定是 在 点的法线(,)d4 应用 下面我们给出定理 3、定理 4 及推论 1 的一些应用，通过一些例子说明该 7方法有别于传统的拉格朗日乘数法，它既是新颖的，又具有一定的简明性例 3 求椭圆曲面 到平面22:(5)(4)1Sxyz的最短距离:20xyz解：令 22541Fxyz32Gxyz上一点 的法向量为S,z000,6,xy的法向量为32,1由定理 4 当 ，即 ， 时54xyz3

13、5xz4yz两曲面得到公共法线。解得 或0,2,31xz8,1则法线方程为 或yz5132xyz解得对应 上的点 或1,x,比较两种情况得最短距离为 。4例 4 求曲线 到直线 的最短距离。yx0y解：令 ，1FGx两条曲线的法线分别为 ，0,y1,由定理 3：解得 或01yx0,于是最短距离为点 或 到直线 的距离10xy比较得最短距离为 2例 5 已知 ，且 求 的最小值（2010 年,xyzR3xyz22xyz福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试卷选作题）解：题目求的是原点到平面 的距离的平方21z平面 的法向量为（2， 3 ，3）231xyz 8由推论 1 可知过原点的法线距离最小则

14、设平面上的该点为 2,3t又由 解得23xyz此时 取得最小值。,122xyz参考文献1 华东师范大学数学系编. 数学分析（下册）M. 北京 : 高等教育出版社, 20012 陈传璋, 金福临等. 数学分析（下册）M. 北京: 高等教育出版社, 20003 谢惠民, 恽自求等. 数学分析习题课讲义（下册） M. 北京: 高等教育出版社, 20044 吴良森, 毛羽辉等. 数学分析学习指导书（下册） M. 北京: 高等教育出版社, 20045 许绍溥,姜东平等. 数学分析教程（上册）M. 南京: 南京大学出版社, 19906 程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础M. 北京 : 高等教育出

15、版社, 20037陈荣群 黄勇，二次型在求条件极值中的应用J。福建教育学院学报，2008 年第十期。8王梅英 王玮，求多元函数条件极值应注意的几个问题J。南京审计学院学报，2008年第五卷第三期。9吴亚娟，几何观点下的多元函数条件极值求法J。泰州职业技术学院学报，2008 年第五期10陈国 刘亚亚，求多元函数极值的二次型方法J。河西学院学报，2008 年第 24 卷第五期致谢本文的完成离不开胡付高老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢。tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30