数学专业毕业论文：零点定理推广与应用

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1、1零点定理推广与应用【摘 要】零点定理是微分学中的一个重要定理，本文主要讨论了零点定理的几种推广情况，然后归纳整理了零点定理及其相应推广定理在解决理论问题与实际问题等方面的应用，并用例子加以说明。【关键词】闭区间；应用；推广；引言在微分学中有一个重要的定理零点定理，它的一个重要应用是研究函数零点的存在性问题。但在一般的数学分析教材中介绍的零点定理，有两个比较重要的约束条件，第一，所讨论的函数在闭区间上连续，第二，所讨论的函数在闭区间的两个端点的函数值异号。这两个约束条件有时会使零点定理的应用受到限制，若能将这两个约束条件放宽，可以使零点定理的应用更加广泛。关于零点定理的推广以前已有一些学者研究

2、过，如文1、文2将闭区间推广到开区间或半开半闭区间等，或函数值在某个过程趋于无穷大，但这些文章的推广还不够全面，还有许多情况可以推广。本文从零点定理条件出发，将一元函数推广至二元函数，甚至多元函数的情况，分别得到相应的零点定理，同时将连续函数推广至有间断点的函数，较为完整地归纳零点定理的推广，并给出了相关定理的证明，最后将零点定理及相关的推广定理用于讨论多项式的零点（或方程根的个数） 、函数的极值、函数不动点、及二元函数的驻点的存在性等问题。同时也给出了这些定理在解决实际问题的几个应用实例。1.简单介绍零点定理及其它相关定理定理 1.1：（零点定理）若函数 在闭区间 连续，且 ，则一定)(xf

3、ba,()0fabA存在 ，使 。),(ba0)(f定理 1.2：（介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么，)(xfba, )(bfa对于 与 之 间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得)(af)(bf C,。C推论：设函数 在闭区间 上连续， 分别为 在 上的最大值)(xfba,mM,)(xfba,和最小值，则对于任何 ， ，必然存在 ， 使Cm,ba.C22. 零点定理的推广2.1将闭区间推广为其它区间定理 2.1.1：若函数 在区间 （注：区间 是非常任意的）内连续且异号 ：即)(xfII *存在 ，使 ，则 在 区间内至少有一个零点。Iba、 0abA)(xf注：这里

4、和下文出现的异号均是指在所讨论的区间上存在两点使函数在这两点的函数值异号。证明：函数 在区间 内连 续且异号，则存在互异两点 ，使)(xfI Iba、， ()0fabA设 ，则 ，由定理 1（零点定理）知 在区间 内至少有一个零I, )(xfI定理 2.1.2：若 在开区间 内连续，且)(xfba,（ 是常数或 ） ( 是常数或- )lim()0xafAlim()0xbfB或 （ 是常数或- ） ( 是常数或 ） ，lixaflixbf则 在 内至少有一个零点，即至少存在一个 ，使()f,bab()0f（ 作为负号， 作为正号） 。limxaflim()xbf证明：若 均为实数,b1) 若 且

5、 ， ，只要定义 ,aRli()xafARli()xbfBR，则 在 上连续，()AgxfbBx()g,a()0gabAB由定理 1.1（零点定理）可知：至少存在一个 ，使 ，即 。)()f32) 若 且 ， 有一个为无穷大，设 ，则,aRblim()xafli()xbf lim()xaf由无穷大的定义，取 ，存在一个 ， ， 在 0M0()02faM()f,2b上连续，定义 ，则 在 上连续，()2fxaxbgB()gx,b，由定理 1.1(零点定理）知：至少存在一个()(02abMA使 ，即 。)(g()0f3) 若 且 ， 均为无穷大，,aRblimxaflixbf设 ， ，则由负无穷大

6、的定义，取 ，存在一 li()xafli()xbf0M个 ， ，取 ，存在一个 ， ， 002fMN()2faN在 上连续，利用定理 1.1(零点定理)可知：至少存在一个()fx,ab，使 。()2()0f定理 2.1.3：若 在区间 内连续，且fx,b， （ 是常数或 ), ,( 是常数或 ）lim()0xfAlim()0xbfB或 ， （ 是常数或 ） ， ， （ 是常数或 ）lixflixbf则 在 内至少有一个零点。()f,)b证明：若 ， ，不妨设 ，lim(xfARli()xbfBRlim()0xfA由极限定义取 ，存在 ， ，li()0xbfB20M()2f4， 在 上连续，()

7、02AfM()fx,Mb定义 ，则 在 上连续，且()fgxB()gx,b()02AgMbB由定理 1.1（零点定理）可知：至少存在一个 ，使 ，即 。()x()()f类似定理 2.1.3 的证明，可证明下面定理定理 2.1.4：若 在区间 内连续，且()fx(,)a（ 是常数或 ） ， （ 是常数或 ）lim()0xafAlim()0xfB或 （ 是常数或 ） ， （ 是常数或 ）lixaflixf则 在 内至少有一个零点。()f,)定理 2.1.5： 若函数 在区间 内连续，且()fx(,)（ 是常数或 ） ， （ 是常数或 ）lim()0xfAlim(0xfB或 （ 是常数或 ） ， （

8、 是常数或 ）lixfli)xf则函数 在 内至少有一个零点。()f,)证明：1) 若 ， （ 为常数） ，由极限定义及性质 3可知：lim()0xfA，使 ，(,)a()02Afa若 ，则同样 ，使 ，li()xf,()1f若 ， （ 为常数） ，同样由极限定义及性质保号性可知：lim0xfB，使,b()02Bfb5若 ，则同样 ，使 。lim()xf(,)b()10fb综上所述：若 ， （ 是常数或 ） ， ， （ 是常数或 ）li()0xfAlim()0xfB则 在区间内异号，又 在区间 内连续，()f ()fx,由定理 2.1.1 知：至少存在一个 ，使 ，,()0f即 在 内至少有一

9、个零点。()fx,2) 若 ， （ 为常数） ，则 ，使lim()0xfA,a()02Afa若 ，则同样 ，使 ，lixf,()1f若 ， （ 为常数） ，则 ，使li()0xfB,b()02Bfb若 ，则同样 ，使 ，limxf,()1f综上所述：若 ， （ 是常数或 ）, ,( 是常数或 )，li()0xfAlim()0xfB则 在区间 内异号，又 在区间 内连续，f,()f,由定理 2.1.1 可知：至少存在一个 ，使 ，,()0f即 在 内至少有一个零点。()fx,2.2 将连续函数推广为有间断点的函数首先介绍上跳函数与下跳函数的概念与相关结论.定义 2.2 ：设 在 有定义，如果任何

10、 ，3f,ab,xab，则称 为 上的上跳函数。lim()li()txtxff,6类似的,如果任何 ， ，则称 为 上的下,xablim()li()txtxfff,ab跳函数。上、下跳函数有如下主要性质：i. 上跳函数在图像上的意思为：若点为不连续点，则该点的左极限不大于于右极限，而该点的函数值则在两者之间；下跳函数则反之。上跳函数和下跳函数不一定是单调函数。ii. 连续函数是上跳和下跳函数的特征，如果一个函数既是上跳又是下跳，则必是连续函数。iii.上跳函数可以表示为一个连续函数和一个不减函数之和，下跳函数可以表示为一个连续函数和一个不增函数之和。定理 2.2.1：设 在 上有定义，若 为上

11、跳函（或下跳函数） ，且f,abf()0()fafb或 ，则至少存在一点 ，使得 。ff0(,)xab0()fx证明：设 为上跳函数，满足 ，令集合 。fff:,()0Stabft由于 ，所以 非空，下确界存在，设 。显然 。()0fbSinf1) 设 ，根据上跳函数的定义，有 ，存在一 ，使得flim()tf1这与 的下确界定义矛盾。()02) 假设 ，则 ，即 ，根据上跳函数定义的另一部分 ，fb()lim()tff存在 ，使得 ，当 。这说明 已是 的一个下界，这与 的2()0ft2(,)t2S下确界定义矛盾。于是 ， 就是定理中所需求的 。()f0x同理可证有关下跳函数的情况。2.3

12、将函数推广为 n 元函数7定理 2.3.1：若二元函数 在区域 连续，且 ，()fP2DR12()0fP12,PD则一定存在 ，使 。00()f证明： ， ，1f2fP用有限线段在 中的折线连结 和 （如下图）D12若有某一个连接点所对应的函数值为 0,则定理得证，否则从一端开始逐段检查，必定存在某直线段，使得 在它两端的函数值异号。不失一般性，设连结 ，f 1(,)Pxy的直线段含于 ，其方程为2(,)PxyD， 。121()xtxyy0t在此直线段上， 。 变为关于 的复合函数：ft， 。12121()(),()Gfxyt0t由于 为 上的一元连续函数，且0,1，1 2()0()fPGfP

13、因此由一元函数根的存在定理，在 内存在一点 ，使得 。记,0t0()t，01021()xtx121yy则有 ，使得0(,)PxyD)fPG类似定理 2.3.1 的证明，可证明下面定理.8定理 2.3.2：设 是紧集， 是 上的连续函数，且 。nAR()fA12()0fA则存在 ，使 。Q()0f3 零点定理及其推广的应用将连续函数的零点定理推广以后，在理论上与实际中有着更加广泛的应用，以下仅举几个例子给予说明,在理论上的应用主要讨论多项式零点（或判定方程根个数） 、函数极值点、不动点 、导数零点及二元函数驻点的存在性等方面问题；在实际上的应用主要是通4过几个实际例子(如汽车行程，放稳椅子，测高

14、空气温，分割土地等方面)加以说明。3.1 在理论上的应用例 1 试证明任一奇次多项式在 上至少有一个零点。,证明：设 ， 为奇数，则201() nnPxaxa 0,，lim()nnP当 时当 时，0li()nnax当 时当 时所以由定理 2.1.5 知， 在 至少有一个零点。()nP,)例 2.确定方程 的实根个数。3210xx证明：1令 ，32()fxx()61)(2fxx令 得 ， ，在 上连续，0f121,，32lim()li(10)xxfx，- -3222lili (20xxf f由定理 2.1.3 知： 在 内至少有一个零点，f,9又 ， 故 在 内单调增加()0fxfx,2在 内至多有一个零点，f,2故 在 上有且只有一个零点 ，fx,2 在 内()f2,1+3222lim()li(10)(210xxfxf3211lili 7xxf 由定理 2.1.2 知： 在 内至少有一个零点，f2,又 ， 故 在 内单调增加()0fxfx,1在 内至多有一个零点，f2,1故 在 上有且只要一个零点，fx,3 在 内()f1,+32