数学专业毕业论文-方差分析与应用

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1、方差分析与应用1第一章 前言方差分析(Analysis of Variance, 简称 ANOVA)有英国统计学家费歇尔创立。早先用于生物和农业，其后在许多科学研究方面都得到了广泛应用。在科学实验或生产生活实践中，任何事物总是受很多因素影响，例如，工业产品的质量受原料、机器、人工等因素的影响。农作物的产量受种子、肥料、土壤、水分、天气等因素的影响。利用实验数据，分析各个因素对该事物的影响是否显著，数理统计中所采用的一种有效方法就是方差分析。当方差分析需要进行实验来获得实验数据作为分析的对象时，将要考察的指标称为实验指标、影响实验指标的条件称为因素、因素所处的状态称为该因素的水平。如果在实验中只

2、有一个因素在改变，则称为单因素实验，否则称为多因素实验，本文讨论单因素实验和双因素实验。在文章中 Excel 软件在方差分析中的应用也得到了充分的体现，为我们进行分析提供了很大的方便,我们就他在农业和饲养业中的有效应用展开论述。在农业科学研究中，通常会获取大量的数据，这些数据虽然凌乱且复杂，但其中蕴含的信息量往往较大，只有通过正确的处理和统计分析，才能发现其中的内部规律,从而总结规律得出结论。方差分析是统计分析中常用的分析方法，也是一种比较有效的分析方法,以前农业科研工作者在进行方差分析时主要是借助简单的计算器用手算进行，导致数据处理效率低且容易出错。利用微软公司研发的 EXCEL 软件进行方

3、差分析不仅操作简便，而且可同时生成优美的电子表格，可有效地解决农业科研工作者进行方差分析时的繁琐计算问题,很大程度的提高了工作效率,在准确性方面也比较可信。 在饲养业中，通过进行饲养实验后,我们对原始数据进行方差分析,以确定最有效的饲养方法,可对原始数据进行分析是件烦琐的工作，需要大量的工作,花费不少时间。在这里我们也可以利用 Excel 应用软件快速、准确解决饲养试验中的方差分析计算任务。Excel 提供了一组数据分析工具，称为 “分析工具库 ”，可以在进行复杂的统计或工程分析时节省宝贵的时间。只需为每一个分析工具提供必要的数据和参数,该工具就会使用适宜的统计和工程函数,在输出表格中显示相应

4、的结果,把分析结果很直观的摆在我们面前,省时有省力,具体应用过程我们将在下文进行详细的分析。方差分析与应用2第二章 预备知识2.1 单因素试验的方差分析2.1.1 单因素试验的概念为了分析某一个因素 A 对所考察的随机变量 的影响,我们可以在试验时让其它因素保持不变,而只让因素 A 改变,这样的试验叫做单因素试验,因素 A 所处的状态叫做水平。2.1.2 单因素试验的方差分析原理设因素 A 有不同水平 ,各水平 对应的总体 服从正态分布 ,(1,2lA iAi2,()i)； 这里我们假定各 有相同的标准差 ,但各总体均值 可能不同.例如,1,2il i i可以是用 种不同工艺生产的电灯泡的使用

5、寿命,或者是 个不同品种的小麦的i l l单位面积产量,等等。在水平 进行 次试验； ,我们假定所有的试验都是独立的.设得到样本iAin1,2il观测值 j如下表:ix表 2-1水平 A1 A2 Al观察值 112n 112lln因为在水平 下的样本观测值 与总体服从相同的分布,所以有iA(,2)iji,（ ） (1.1)2,()iji1,il方差分析与应用3我们的任务就是根据这 l 组观测值来检验因素 A 对试验结果的影响是否显著.如果因素 A 的影响不显著,则所有样本观测值 就可以看作是来自同一总体 ,因此ij2,()i要检验的原假设是； (1.2)012:iH令 . 1,(12,)lli

6、iiinnl当(1.2)成立时，各 则原假设(1.2)等价于 . i 012:0lH方差分析问题实质上是一个假设检验问题，下面探讨如何构造合适的统计2.1.3 方差分析统计量的构造1定义组内平均值 总平均值 ，1inijix11inl ljiixxx总离差平方和 ，组间平方和21()inljijS 21()lAinS误差平方和21()inlejinijxSA反映各组样本之间的差异程度，即由于因素 A 的不同水平所引起的系统差异； Se反映各种随机因素引起的试验误差。2几个重要结论我们可以导出如下结论： ; AeS SA与 Se是相互独立的； ；2()xnl方差分析与应用4 若 H0成立，则，

7、.22(),(1)ASSxnlxl3构造 F 统计量利用以上结论，定义:组间平均平方和 ；误差平均平方和 (1)ASl(1)eSn考察统计量 ，它服从什么分布？AeFS因为 ，利用上面的结论及 F 分布的定义可知2(/)(1Aeln(1,)Fl2.1.4 方差分析的方法如果因素 A 的各个水平对总体的影响差不多,则组间平方和 SA较小,因而 F 也较小;反之,如果因素 A 的各个水平对总体的影响显著不同,则组间平方和 SA较大,因而 F 也较大.由此可见,我们可以根据 值的大小来检验上述原假设 H 对于给定的显著性水平 ,由FF 分布表 5 查得相应的分位数 。如果由样本观测值计算得到的 F

8、的值大于 ，则在 水平 下拒绝原假设 ,即认为因素 A 的不同水平对总体有显著影响；如果 的值不0H大于 ,则接受 ，即认为因素 A 的不同水平对总体无显著影响。通常分别取 =0.05和 =0.01,按 F 所满足的不同条件作出不同的判断：表 2-2条 件 显 著 性FF 0.05 不显著F0.05 F0.01 高度显著（可用“*”表示）通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：表 2-3方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 临界值 显著性组 间误 差SASel-1n-l (1)eSn()AlAeF0.05F0.01总 和 S n-1 注：有时为了简化计算，可把全部观察值 减去或加上一个常数

9、 C,并不影响离差平方ijx和的计算结果。2.2 双因素无重复试验的方差分析2.2.1 双因素试验的方差分析原理如果我们要同时考虑两个因素 A 与 B 对所考察的随机变量 是否有影响的问题，则应讨论双因素试验的方差分析，设因素 A 有不同水平 ,因素 B 有不同水平，1,2lA在它们的每一种搭配( Ai， )下的总体 服从正态分布 ,（12mB j ij2()ijN； ）。这里我们假定各 有相同的标准差 ,但各总体均值 可,il 1,2j ij ij能不同. 所谓无重复试验就是因素 A 和 B 的每一种水平搭配( Ai， Bj)下仅取一个观察值xij， 我们假定所有的试验都是独立的. 全部样本

10、观测值 xij可用下表表示:表 2-4方差分析与应用6因素 B因素 A B1 B2 BmA1A2Al121l2l 12ml因为观测值 与总体 服从相同的分布,所以有 ,(ijij 2(,)ijijN) (1.3)1,2;,ilm 我们的任务就是根据这些观测值来检验因素 A 和 B 对试验结果的影响是否显著.令（总均值）1miijj（在因素 A 的水平 下的均值）1lijij i（在因素 B 的 水平 下的均值）.1ljiju j，（因素 A 的水平 的效应）.iii，（因素 B 的水平 的效应）.jjuj显然有， 因此 可表示为 110,lmiijjij,(12,;,)ijijuljm 若因素

11、 A 或 B 的影响不显著，则其各水平的效应为零.要检验的原假设可分别设为， 012:.0lH（1.4）方差分析与应用7， （1.5）0212:.0mH2.2.2 方差分析统计量的构造1.定义第 行平均值 第 列平均值i.1miijx.1ljijx总平均值 ，总离差平方和 ，1liji 21()lmijijSx因素 A 的离差平方和 ，2.1()lAiiSmx因素 B 的离差平方和 ,.21()jBjl误差平方和 . 2.1()ilmjeijijSxxSA与 SB分别反映因素 A 和 B 的不同水平所引起的系统差异；而 Se则反映各种随机因素引起的试验误差。2.几个重要结论我们可以导出如下结论

12、： ; ABeSS 是相互独立的；,e ；2(1)Slm 若 H01成立，则 ，2(1)ASl 若 H02成立，则 .2B3.构造 F 统计量方差分析与应用8利用以上结论，定义:因素 A 的平均平方和 ；因素 B 的平均平方和 ；(1)ASl(1)BSm误差平均平方和 . ()eelm考察统计量 和 ，利用上面的结论及 F 分布的定义可知AeSFBe当 H01成立时， (1,)(,Al当 H02成立时， ,BFml2.2.3 方差分析的方法与单因素试验方差分析方法相仿，我们可以根据 FA与 FB的值的大小来检验上述原假设 H01与 H02。 对于给定的显著性水平 ,由 F 分布表查得相应的分位

13、数 ，如果由样本观测值计算得到的 F 的值大于 ,则在水平 下拒绝原假设,即认为该因素的不同水平对总体有显著影响；如果 F 的值不大于 ,则接受原假设,即认为该因素不同水平对总体无显著影响。通常分别取 =0.05 和 =0.01,按 F 所满足的不同条件作出不同的判断：表 2-5条 件 显 著 性FF 0.05 不显著F0.05 F0.01 高度显著（可用“*”表示）方差分析与应用9通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：表 2-6方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 临界值 显著性因素 A SA l-1 (1)ASlAeSFA0.05FA0.01因素 B SB m-1 (1)BSmBeS

14、FB0.05FB0.01误 差 Se (l-1)(m-1) ()eeSl总 和 S lm-1 注：有时为了简化计算，可把全部观察值 xij减去或加上一个常数 C,并不影响离差平方和的计算结果。2.3 双因素等重复实验的方差分析2.3.1 交互作用的概念交互作用-两个因素 A 与 B 的各个水平之间的不同搭配对试验结果的影响. 例 1 某化工厂为了掌握不同的催化剂量（毫升）、不同的聚合时间（小时）和不同的聚合温度（ oC）对合成橡胶生产中转化率（%）的影响规律，做了两批试验，结果如下:方差分析与应用10表 2-7聚合时间催化剂量 0.5 1聚合温度催化剂量30 502484.2089.3488.8394.252487.684.875.596.2从表 2-7 可见，催化剂量对转化率的影响与聚合时间长短无关，聚合时间对转化率的影响也与催化剂量大小无关，从而催化剂量与聚合时间之间不存在交互作用。从表 2-7 可见，当催化剂量为 2 毫升时，聚合温度低则转化率就高，而当催化剂量为 4 毫升时，聚合温度高就转化率高。这说明催化剂量对转化率的影响与聚合温度有关。同理,聚合温度对转化率的影响也与催化剂量有关，从而催化剂量与聚合温度之间存在交互作用。2.3.2 考虑交互作用时的双因素等重复试验的方差分析原理因素 A 和因素 B 的交互作用记为 或简记为 I 为了分析这种交互作用，对于它A