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1、更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk五法求二面角上犹中学数学教研组 刘道生从全国 19 份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有 12份，并都为分值是 12 分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是 2010 年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种
2、规律。如例 1 中从二面角 SAMB 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱 AM 作垂线，得垂足（F ） ；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF） ，这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1（2009 全国卷理）如图，四棱锥 SABCD中，底面ABCD为矩形， S底面 ， 22，点 M 在侧棱 上， M=60（I）证明：M 在侧棱 的中点（II）求二面角 SAB的大小。证（I）略 解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形 AB中过点 作 FAM交 于点 F，则点
3、 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 G， GF 交 AS 于 G，连结 AC，ADCADS，AS-AC，且 M 是 SC 的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又 为 AM 的中点，GF 是AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则 FB即为所求二面角. ，则 ，又 ，2SM2F6ACS2 ， 是 等 边 三 角 形 ， AB06M3在 中， ， ， ，G2B09G214BFGFG更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk3622132cos FBGBF二面角 SAM的大小为 )36arcos(练习 1（2008 山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD
4、 为菱形，PA 平面 ABCD，,E，F 分别是 BC, PC 的中点.60BC（）证明：AEPD ; （）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角 EAFC 的余弦值.2分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值为 ）51二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂
5、直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP） 。再解直角三角形求二面角的度数。例 2(2009 山东卷理) 如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B1C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E
6、 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。（1） 证明：直线 EE /平面 FCC 1；（2） 求二面角 B-FC 1-C 的余弦值。 证（1）略解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlkBF=BC=CF, BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1B C1D 中,CC 1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 C
7、C1F 内作OPC 1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC -C 的一个平面角 , 在BCF 为正三角形中, 3OB,在 RtCC 1F 中, OPFCC 1F, 1PC212P, 在 Rt OPF 中, 21432BOP,27cos14OPB,所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值为 7.练习 2（2008 天津）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形ABCDP已知 60,2,3PADAB（）证明 平面 ；B（）求异面直线 与 所成的角的大小；C（）求二面角 的大小分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD平面 PAB 后，容易发现平面 PAB平面 ABCD
8、，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。 （答案：二面角 的大小为 ）ABDP439arctn三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3（2008 湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（
9、）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.ABCEDP更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk分析：本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE 相交于点 F，连结 PF.）再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。 （）证略解: （）延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AH PB 于 H，由（ ）知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.在 Rt ABF 中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2= AP.在等腰 RtPAF 中，取
10、PF 的中点 G，连接 AG.则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中， 2.AP在 Rt PAB 中， 25.PBAH所以，在 Rt AHG 中， 2105sin.AHG故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 10arcsin.5练习 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长都是a，侧棱与底面成 600 的角，侧面 BCC1B1底面 ABC。（1）求证：AC 1BC；（2）求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，
11、可过 A 点作 CB 的平行线 L（答案：所成的二面角为 45O）四、射影面积法（ ）cosSq=射凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos ）求出二面角的大小。斜射例 4 （2008 北京理）如图，在三棱锥 中，PABC 2ACB， ，90ACBABCEDPFGHACBPAC BB1C1A1L更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk， APBCA（）求证： ；（）求二面角 的大小；P分析：本题要求二面角 BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S
12、 原 与 S 射于是得到下面解法。解：（）证略（） ， ， ACAPBC 又 ， PB又 ，即 ，且 ，90 平面 B取 中点 连结 E， AAP是 在平面 内的射影，CCACE 是ABE 在平面 ACP 内的射影，于是可求得： ， ，22CBB 62AEB则 ，2ECA 11EASCE射 3621SB原设二面角 的大小为 ，则P3cos原射二面角 的大小为BAPC3arcos练习 4： 如图 5，E 为正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值.分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出
13、，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形 AB1E 在平面A1B1C1D1上的射影是三角形 A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为 cos= ）.32五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各ACBEPA1D1B1C1EDBCA图 5更多资料关注高中学习资料库 微信：gzxxzlk点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4：（2009 天津卷理）
14、如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点 A为坐标原点。设 ，1AB依题意得 ， 0， 01C， 2D ，0E ，F.M，（I） ，解 ： 10BF ， 10E .2Dcos，于 是所以异面直线 F与 所成的角的大小为 06.（II）证明： ，由 21AM ， 1CE 0AMCE02AD， 可 得， ， .DM.0DCE 平 面， 故又，因 此 ， .平 面， 所 以 平 面平 面而 （III） .0D)(CEEuCzyxu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面.1(1.0）， 可 得令，于 是 xzy又由题设，平面 ACD的一个法向量为 ).0，v练习 5、 （2008 湖北）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 .1ABCABC1（）求证： ；B（）若直线 与平面 所成的角
