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1、1渗透“画图”策略 提高解决问题能力圆环面积教学的实践研究【内容摘要】当学生面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题。数学解题策略有许多种，其中画图是一种最基本的解决问题的策略。因为小学生年龄小，抽象思维水平不高，而画图比较直观。通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，容易找到解决问题的关键。所以引导学生采用画图的策略，十分适合小学生的思维特点，也是我最常向学生推荐的一种解题策略。下面结合一道运用圆环面积计算公式解决实际问题的的题目来谈谈在教学中渗透“画图”策略，提高学生解
2、决问题能力的反思与体会。【关键词】渗透 “画图”策略 解题策略的指导 应用价值 教学建议一、缘起人教版六年级上册数学配套的作业本P34，有这样一道题目：设计的目的是让学生运用圆环的面积公式解决实际问题。但从学生完成练习的结果反馈：近八成的学生出现了各种各样的错误，如：25212.512.5113.53.14(13.5 2 12.5 2)25212.525126262133.14（13 212.5 2）25212.525124242123.14（12.5 212 2）其中有一半竟然是一直以来教师心目中的优生。评讲后，将这一道习题作为典型错例原题照搬到单元测试卷中，测评结果仍然不容乐观，还有近四成
3、（39.6%）的同学仍然出现了不同程度的错误，当中也仍然有好几个教师心目中的“优生” 。本以为这是自己班级中的特殊现象，不足为鉴。想不到在与其它班数学老师的交流中发现，每个班都出现了类似的现象，有些班级出现的结果还更严重，能正确完成的也一元硬币的直径为 25mm，其中有一圈 1mm 宽的边。 这一圈边的面积是多少平方毫米？(先看一看 1 元硬币，再想想怎么算，然后计算)（ 临 ） 23 届 学 科 论 文小 学 数 学 学 科级 立 项 编 号 2就那么少部分同学。这一现象引起了我的重视，看样子，问题并没有刚开始想的那么简单，第一次作业本上出现时，我总认为学生懒，题目的问题后面明明写着提示：先
4、看一看1 元硬币。却不愿意拿 1 元硬币看一看，题目乱做。到底是什么原因让学生一错再错呢？怎么解决呢？调查解题错误的学生，了解解决这道题的相应知识是否掌握。一问：你知道“硬币一圈边”是什么形状吗？二问: 你知道圆环的面积计算公式吗？三问：求圆环的面积，必须知道哪些条件？发现错误的同学中除了二、三个学困生，都能说出“硬币一圈”是圆环，圆环的面积计算公式是外圆面积内圆面积，也可以用 （R 2r 2）,从学生错误的算式中我们也可以看到圆环面积计算公式的影子。这说明前一节课的知识目标是达成的，根据经验，我估计问题的症结在于学生根据文字叙述找不出解决问题的条件。为了证实问题是否出在“学生根据文字叙述找不
5、出求圆环的两个必要条件：R和 r”。 为此，我设计了一组调研题(见下)，为了避免相互干扰，我将这组题目分两个时间完成。统计结果(第一题的正确率是 84.1%，第二题的正确率只有 41.3%)，证实我的猜测，问题的症结在于学生根据文字叙述找不出解决问题的条件。调查解题正确的学生，了解学生解决这道题的解题策略有哪些？叫来第一次作业本上做对的 13 人进行了解，通过询问发现做对的同学中：解题策略 看实物的 画图的 想一想的 别人教的1、计算下面阴影部分的面积。(单位：厘米)2、在直径为 4 米的圆形花坛内有一条宽 1 米的环形小路。这条小路的面积是多少？3人数 5 4 2 2可见，借助于实物或者是画
6、图，数形结合，学生就能比较容易的找到解决问题的条件。错误的学生为什么不画图呢？是不会画吗？一问之下，结果令人惊讶，几乎所有的学生都说“我没有想到” 。甚至还有几个同学说“题目又没有要求我们画图” 。这一结果真让我们老师无言以对,哭笑不得。怎样讲评这道题目呢？问了几个老师，不约而同的说：“要么拿实物给他们看，或者画图给他们看” ，再让他们从实物上或从图上找出解决问题的条件：R 和r。不管是学生，还是老师，都认为“画图”是解决这类实际问题的好策略，那学生为什么想不到画图呢？学生缺少画图的解题策略，肯定于我们前面的教学有关。因为教学结果其实是教学过程在一定程度上的必然呈现。那么在新授课时，我们对此进
7、行渗透了吗？为了更清楚地说明问题，我调出了同年级任课老师圆环面积的教学设计及课件，发现无一人叫学生画图，碰到类似问题，是老师画在黑板上，或者是题目和图形一起在课件中呈现。这也难怪大部分学生会想不到画图!如何变“老师画”为“学生画” ，如何变“要我画”为“我要画” ，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。我设计了一节课巧用“画图”策略，提高解决问题能力，下面从几个片段进行一些反思与体会。二、片段回放与反思片段一（“画图”的热身运动）1、请学生在纸上任意画一个圆，提问：你能求出它的周长和面积吗？2、再画一个与它大小不一样的圆，这两个圆有哪几种
8、位置关系？想一想，再动手画一画。3、反馈，展示学生的各种位置关系：4、师：几号图形是我们上节课认识的圆环呢？你知道圆环的面积计算公式吗？先测量所需数据再计算。师：今天我们继续学习有关圆环面积计算的实际问题。反思课始，我让学生两次画图。第一次任意画一个圆，目的是再现有关圆的特征以及周长、面积计算公式。第二次再画一个大小不一样的圆，使 这两个圆形成不同的位置关系。学生的表现是很出色的，如：4(1) (2) (3) (4) (5) (6) 看起来这好象是很简单的一画，但是这“一画”于课始就吸引了学生，使学生能全身心投入到课堂上。这“一画 ”画出了新旧知识间的桥梁，画出了求圆环面积的各种条件，如先测量
9、再计算时，测量的条件也各不相同：有的 测量 R 和 r；有的测量 D 和 d；有的测量 D 和 r；有的测量 r 和环宽学生是各有各的办法，与圆环面积计算相关的各种数据以及这此数据间的联系活生生地进入学生的脑海，为后面揭示用“画图”策略解决问题作好铺垫。片段二（激发“画图”需要）1出示例题（选自浙江教育出版社出版的同步课时特训P109）。将一直径 6 米的圆形花坛向周围拓宽 2 米，花坛的面积比原来增加了多少平方米？(生自主阅读例题，理解题意)2画图分析。师：这道题叫我们求什么？生：花坛的面积比原来增加了多少平方米？师：那这一部分是什么形状?计算它又需要哪些条件?这些条件已知吗?(大部分学生不
10、能马上回答，但从学生脸上可观察出他脑子里正在想。)师：光看文字叙述，你感觉怎么样?生：不是很清楚。师：可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题?生：可以画图。师：是啊!画图就是解决问题的一种策略。请同学们根据题意先试着画图。【反思】例题只有文字叙述，具有一定的挑战性，学生往往不能直接看出要求的图形，以及几个数量之间的关系。此时我没有直接让学生画图，而是通 过“这道题叫我们求什么？这一部分是什么形状，计算它又需要哪些条件，这些条件已知吗?光看文字叙述，你感觉怎么样? 可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题?”这四个5问题，诱发学生产生心理需要“一下子想不出方法怎么办？”，需要一
11、种方法帮助自己理解题意。因为课始学生做了画图的“热身运动”，此刻学生马上觉得画图是一种解题的方法，从而主动地采用画图的策略。片段三（适时引导“画图”）（全体学生独立在草稿本上尝试画图后，我让一个学生上黑板根据题意画，并适时进行引导）师：直径 6 米标在哪里？（同学来标）师：向周围拓宽 2 米怎么画？（重点指导）（有的学生直接延长了直径，使增加的只是一条线段，如下图）师：这就叫做向周围拓宽 2 米吗？生：应该两边同时都要拓宽 2 米。生: 应该是向四面八方都拓展 2 米。（如下图）师：哎，向周围拓宽 2 米，面积好像没有增加？生：老师，还要再画一个圆！师：这个圆在哪里呢？（指一指）原来都拓展 2
12、 米形成的图形是一个圆！（老师赶紧画一个圆）增加的面积在哪里呢？我们一般用阴影来表示。 如图：(接下来老师进一步指导学生在图上标出有关数据和所求问题，如下图。其他学生逐步完善自己所画的图形)6【反思】步步为营地引导学生分析这样画是否符合题意，特别重点指导“向周围拓宽 2 米怎么画”，让学生在 纠错的过程中掌握画图的方法，深刻地体会到向周围拓宽 2米什么意思，拓宽后它的面 积也增加了。当我和学生一起把题目中的文字变成这样一幅看似简约、线条寥寥无几但又充 满生动的“直观图”时，学生的注意力一直没有离开过课堂， 唤起学生的有意注意，学生学得生动活泼，印象深刻，充分展示了数学内在的魅力。片段四（ 看“
13、图形”解决问题）师：画图之后再来解决问题，你愿意看着原来的文字思考还是看着图形思考?为什么? 生：看图形思考，比较方便。师：画图后，你发现现在的花坛和原来的花坛半径和直径各有什么关系？生：半径增加了 2 米，直径增加了 2 个 2 米，也就是增加了 4 米。生：原来半径是 3 米，现在半径是 5 米;原来直径是 6 米,现在直径是 10 米。师：增加部分的面积就是是圆环的面积，现在你能列出算式解决问题吗?(生自主列式计算，师指名学生板书)生：3.14(3+2) 2-32 = 3.14(102)2-32 =师：3 是什么？3+2 是什么？10 是什么？102 又是什么？在图中指一指【反思】当抽象
14、的文字叙述，转化为直观的图画时，学生对数量关系一目了然，自然会对画图的方法产生兴趣和好感，此时老师追问：“现在看图和文字哪个好？为什么？”有如顺水推舟让学生在“文字”和“图形”两者的比较中体会到了画图的价值，为学生正确解题打下了扎实的基础。 当学生画图之后，通 过观 察比较，将数与形的意 义对应起来，大部分学生结合已有旧知都能解决所求问题。后面列式之后让学生说出“3 是什么？3+2 是什么？ 10 是什么？102 又是什么”，再次数形对照，理解列式原理。片段五（回顾反思“画图”）7师：刚才我们为什么要画图呢?生：没有画图时，光看文字，看不出花坛向周围拓展 2 米的变化。生：画图之后，可以看出原
15、来花坛的半径是多少，现在花坛的直径和半径是多少。师：看来，画图确实是一种有效的策略。【反思】在解决问题之后让学生回顾与反思，感受画图策略的价值所在。使学生在对解决问题过程的不断反思中，感受到画图策略对于解决问题的价值；使学生进一步积累了解决问题的经验，增 强了解决问题的策略意识，并获得了解决问题的成功经验，从而提高了学生学好数学的信心。事实上，策略作 为 一种隐性的、潜在的知 识，本身并不易为学生所清晰地感知与把握。因此在经历解决问题的过程后作出必要的反思，无疑是策略教学十分重要的一环，也是构建策略的精髓所在。三、“画图”策略应用的价值1、画图数形相结合，激发学生的兴趣。布鲁纳说过：“最好的学习动机莫过于学生对所学材料本身具有内在的兴趣。 ”然而数学最本质的东西是抽象的,很多学生看到只是用单调文字叙述的数学题一筹莫展时，往往容易对数学产生厌恶，甚至是恐惧感。基于这一点，我们一定会想“如果能使抽象枯燥的数学知识，形象化，具体化，使得数学教学充满乐趣，那该多好啊！”如何使“数”添“形”，这么多年的教学经历和反思，让我觉得画图是很好的辅助工具。画图就是数形相结合，把抽象的东西形象化, 把“无形”的数学题变成直观的、能摸得着的“有形”材料，学生在一幅幅自画的图形中看到解题的“曙光”，慢慢解除“怕”的 心理，逐渐从老师“要我学”转变成“
